如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D。(1)求证:AC平分∠DAB; (2)连接BC,证明∠ACD=∠ABC;(3)若A

如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D。(1)求证:AC平分∠DAB; (2)连接BC,证明∠ACD=∠ABC;(3)若A

题型:不详难度:来源:
如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D。

(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)连接BC,证明∠ACD=∠ABC;
(3)若AB=12cm,∠ABC=60°,求CD的长。
答案
(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)
解析

试题分析:(1)连接OC,易得OC∥AD,根据平行线的性质就可以得到∠DAC=∠ACO,再根据OA=OC得到∠ACO=∠CAO,就可以证出结论.
(2)连接OC,易得OC∥AD,根据平行线的性质就可以得到∠DAC=∠ACO,再根据OA=OC得到∠ACO=∠CAO,因为∠DAC+∠ACD=90°,∠ABC+∠CAO=90°,所以∠ACD=∠ABC;
(3)在直角△ABC中,利用三角函数求得AC的长,然后在直角△CAD中,利用三角函数即可求得CD的长.
试题解析:连接OC,

∵直线l与⊙O相切于点C,
∴OC⊥CD;
又∵AD⊥CD,
∴AD∥OC,
∴∠DAC=∠ACO;
又∵OA=OC,
∴∠ACO=∠CAO,
∴∠DAC=∠CAO,
即AC平分∠DAB.
(2)∵直线l与⊙O相切于点C,
∴OC⊥CD;
又∵AD⊥CD,
∴AD∥OC,
∴∠DAC=∠ACO;
又∵OA=OC,
∴∠ACO=∠CAO,
∴∠DAC=∠CAO,
∵∠DAC+∠ACD=90°,∠ABC+∠CAO=90°,
∴∠ACD=∠ABC;
(3)∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°
∴直角△ABC中,AC=AB•sinA=12×=,∠BAC=30°
∴在直角△CBD中,∠CBD=∠BAC=30°,CD=AC=
考点: 1.切线的性质;2. 圆周角定理.
举一反三
如图,在△ABC中,BC=6cm,CA=8cm,∠C=90°,⊙O是△ABC的内切圆,点P从点B开始沿BC边向C以1cm/s的速度移动,点Q从C点开始沿CA边向点A以2cm/s的速度移动。

(1)求⊙O的半径;
(2)若P、Q分别从B、C同时出发,当Q移动到A时,P点与⊙O是什么位置关系?
(3)若P、Q分别从B、C同时出发,当Q移动到A时,移动停止,则经过几秒,△PCQ的面积等于5cm2
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在平面直角坐标系中,以点为圆心,4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是(    ) 
A.相离B.相切C.相交D.无法确定

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如图,是⊙的切线, 为切点,的延长线交⊙点,连接,若,,则等于(    )
A.4B.6 C.D.

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如图,是⊙O上的点,若,则___________度.

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如图,AB为O的直径,射线AP交O于C点,∠PCO的平分线交O于D点,过点D作交AP于E点.

(1)求证:DE为O的切线;
(2)若,,求直径的长.
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