试题分析:(1)由因式分解求出方程的解,确定A,B两点的坐标,进而求出AB的长度即⊙M的直径. (2)如下图:求直线ON的解析式,必须求出点N的坐标.因此可过点N作NP⊥AB于点P,连接MN,运用勾股定理F分别求出ON的长度,进而利用面积求出NP的长度,即点N纵坐标的绝对值;再次运用勾股定理确定OP的长度,即点N的横坐标的绝对值.结合点N位于第四象限确定点N的坐标,然后利用待定系数法求直线ON的解析式. (3)求是否存在点T使ΔOTN为等腰三角形,应分类讨论:即①当ON是等腰三角形的底边时,则点T应在ON的垂直平分线上,利用平行线分线段成比例定理或相似三角形求解;②当ON是腰且点O是顶点时,即以点O为圆心、以ON为半径作圆与x轴的交点即为所求点T;③当ON是腰且点N是顶点时,即以点N为圆心、以ON为半径作圆与x轴的交点即为所求点T. 试题解析: 解:(1)由 得
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105011106-63640.png)
,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105011106-87000.png) 由图可知 , ∴OA=1,OB=3 ∴OB-OA=3-1=2 ∴⊙M的直径等于2 (2)如下图,连结MN,过点N作NP⊥ 轴于P,过点N作NQ⊥ 轴于Q ∵ON是⊙M的切线 ∴ON⊥MN且MN= AB=1 在Rt△OMN中,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105011107-67475.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105011108-29372.png) 在Rt△OPN中,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105011108-78694.png) ∵点N在第四象限 ∴N( , ) 设直线ON的函数关系式为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105011109-57645.png) 把N( , )代入得:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105011109-98493.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105011109-89302.png) ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105011110-48854.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105011110-57855.jpg) (3)存在,应分三种情况讨论: ①如图(1)当 是等腰三角形的底边时,顶点 在 的垂直平分线上. ∵ON⊥MN ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105011111-11535.png) ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105011111-98561.png) ∵![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105011111-35758.png) ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105011112-33532.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105011107-10918.png) ,即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105011112-57565.png) ②如图(2),当ON是腰且点O是顶点时,以点O为圆心,ON的长为半径作圆,交 轴于 和 两点. ∴ , ∴ 、![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105011113-24815.png) ③如图(3),当ON是腰且点N是顶点时,以点N为圆心,ON的长为半径作圆,交 轴于点 .则 , ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105011114-59037.png) 综上所述,在 轴上存在四个点,使△OTN是等腰三角形,分别是 、 、 、 .
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