问题探究:(1)请在图①中作出两条直线,使它们将圆面四等分;(2)如图②,M是正方形ABCD内一定点,请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M)使它们

问题探究:(1)请在图①中作出两条直线,使它们将圆面四等分;(2)如图②,M是正方形ABCD内一定点,请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M)使它们

题型:不详难度:来源:
问题探究:
(1)请在图①中作出两条直线,使它们将圆面四等分;

(2)如图②,M是正方形ABCD内一定点,请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M)使它们将正方形ABCD的面积四等分,并说明理由.

问题解决:
(3)如图③,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB+CD=BC,点P是AD的中点,如果AB=a,CD=b,且b>a,那么在边BC上是否存在一点Q,使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分?如若存在,求出BQ的长;若不存在,说明理由.

答案
(1)作图见解析;(2)作图和理由见解析;(3)存在,理由见解析.
解析

试题分析:(1)圆内两条互相垂直的直径即达到目的;(2)连接AC、BD相交于点O,作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点,过点O作用OM的垂线分别交AB、CD于E、F两点,则直线OM、EF将正方形ABCD的面积四等分,可应用△AOP≌△EOB得出结论;(3)把原图补充成菱形,应用菱形的性质求解.
试题解析:(1)如图①所示:

(2)如图②,连接AC、BD相交于点O,作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点,过点O作用OM的垂线分别交AB、CD于E、F两点,则直线OM、EF将正方形ABCD的面积四等分.

理由如下:
∵点O是正方形ABCD对角线的交点,∴点O是正方形ABCD的对称中心.
∴AP=CQ,EB=DF.
在△AOP和△EOB中,∵∠AOP=90°-∠AOE,∠BOE=90°-∠AOE,∴∠AOP=∠BOE.
∵OA=OB,∠OAP=∠EBO=45°,∴△AOP≌△EOB(ASA).∴AP="BE=DF=CQ" .
∴AE=BQ=CF=PD.
设点O到正方形ABCD一边的距离为.
.
.
∴直线EF、PQ将正方形ABCD面积四等分.
(3)存在. 当BQ=CD=时,PQ将四边形ABCD面积二等分.理由如下:
如图③,延长BA至点E,使AE=,延长CD至点F,使DF=,连接EF.
∴BE∥CF,BE="CF." ∴四边形BCFE为平行四边形.
∵BC=BE=+,∴平行四边形DBFE为菱形.
连接BF交AD于点M,则△MAB≌△MDF.
∴AM=DM,即点P、M重合.
∴点P是菱形EBCF对角线的交点.
在BC上截取BQ=CD=,则CQ=AB=.
设点P到菱形EBCF一边的距离为
.
∴当BQ=时,直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分.

举一反三
下列说法①平分弦的直径垂直于弦;②三点确定一个圆;③相等的圆心角所对的弧相等;④垂直于半径的直线是圆的切线;⑤三角形的内心到三条边的距离相等。其中不正确的有( )个。
A.1B.2C.3D.4

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如图,圆心在y轴的负半轴上,半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A(0,1)。过点P(0,-7)的直线l与⊙B相交于C、D两点,则弦CD长的所有可能的整数值有( )条.

A.1      B.2      C.3      D.4 
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如图,已知AB是⊙O的直径,AD切⊙O于点A,点C是的中点,则下列结论不成立的是(  )
A.OC//AEB.EC=BCC.∠DAE=∠ABED.AC⊥OE

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有下列说法:①弦是直径 ②半圆是弧 ③圆中最长的弦是直径 ④半圆是圆中最长的弧 ⑤平分弦的直径垂直于弦,其中正确的个数有(    )
A.1个B.2个C.3个D.4个

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如图,在△ABC中,以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点,连接BD、DE.若BD平分∠ABC,则下列结论不一定成立的是(     )

A.BD⊥AC   B.AC2=2AB·AE
C.BC=2AD   D.△ADE是等腰三角形
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