如图,在平面直角坐标系中,以点O为圆心,半径为2的圆与y轴交于点A,点P(4,2)是⊙O外一点,连接AP,直线PB与⊙O相切于点B,交x轴于点C.(1)证明PA
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如图,在平面直角坐标系中,以点O为圆心,半径为2的圆与y轴交于点A,点P(4,2)是⊙O外一点,连接AP,直线PB与⊙O相切于点B,交x轴于点C.(1)证明PA
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如图,在平面直角坐标系中,以点O为圆心,半径为2的圆与y轴交于点A,点P(4,2)是⊙O外一点,连接AP,直线PB与⊙O相切于点B,交x轴于点C.
(1)证明PA是⊙O的切线;
(2)求点B的坐标;
(3)求直线AB的解析式.
答案
解;(1)证明:依题意可知,A(0,2),
∵A(0,2),P(4,2),∴AP∥x轴。
∴∠OAP=90
0
,且点A在⊙O上。∴PA是⊙O的切线。
(2)连接OP,OB,作PE⊥x轴于点E,BD⊥x轴于点D,
∵PB切⊙O于点B,∴∠OBP=90
0
,即∠OBP=∠PEC。
又∵OB=PE=2,∠OCB=∠PEC,
∴△OBC≌△PEC(AAS)。∴OC=PC。
设OC=PC=x,则有OE=AP=4,CE=OE-OC=4-x,
在Rt△PCE中,∵PC
2
=CE
2
+PE
2
,即x
2
=(4-x)
2
+2
2
,解得x=
。
∴BC=CE=4-
=
。
∵
OB·BC=
OC·BD,即
×2×
=
×
×BD,∴BD=
。
∴
。
由点B在第四象限可知B(
,
)。
(3)设直线AB的解析式为y=kx+b,
由A(0,2),B(
,
),可得
,解得
。
∴直线AB的解析式为y=-2x+2。
解析
试题分析:(1) 点A在圆上,要证PA是圆的切线,只要证PA⊥OA(∠OAP=90
0
)即可,由A、P两点纵坐标相等可得AP∥x轴,所以有∠OAP+∠AOC=180
0
得∠OAP=90
0
。
(2) 要求点B的坐标,根据坐标的意义,就是要求出点B到x轴、y轴的距离,自然想到构造Rt△OBD,由PB又是⊙O的切线,得Rt△OAP≌△OBP,从而得△OPC为等腰三角形,在Rt△PCE中, PE="OA=2," PC+CE=OE=4,列出关于CE的方程可求出CE、OC的长,△OBC的三边的长知道了,就可求出高BD,再求OD即可求得点B的坐标。
(3)已知点A、点B的坐标用待定系数法可求出直线AB的解析式。
举一反三
如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB、AC于点E、D,DF是圆的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为
A.4 B.
C.6 D.
题型:不详
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如图,△ABC和△A′B′C是两个完全重合的直角三角板,∠B=30°,斜边长为10cm.三角板A′B′C绕直角顶点C顺时针旋转,当点A′落在AB边上时,CA′旋转所构成的扇形的弧长为
cm.
题型:不详
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将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线l向右滚动(不滑动),当正方形滚动两周时,正方形的顶点A所经过的路线的长是
cm。
题型:不详
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如图,已知AB是⊙O的直径,AD切⊙O于点A,点C是
的中点,则下列结论不成立的是
A.OC∥AE
B.EC=BC
C.∠DAE=∠ABE
D.AC⊥OE
题型:不详
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如图,AB,CD是⊙O的两条互相垂直的直径,点O
1
,O
2
,O
3
,O
4
分别是OA、OB、OC、OD的中点,若⊙O的半径为2,则阴影部分的面积为
A.8 B.4 C.4π+4 D.4π-4
题型:不详
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