如图,在△ABO中,OA=OB,C是边AB的中点,以O为圆心的圆过点C,且与OA交于点E,与OB交于点F,连接CE,CF.(1)求证:AB与⊙O相切.(2)若∠
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如图,在△ABO中,OA=OB,C是边AB的中点,以O为圆心的圆过点C,且与OA交于点E,与OB交于点F,连接CE,CF.
(1)求证:AB与⊙O相切. (2)若∠AOB=∠ECF,试判断四边形OECF的形状,并说明理由. |
答案
解:(1)证明:连接OC,
∵在△ABO中,OA=OB,C是边AB的中点, ∴OC⊥AB。 ∵OC为半径, ∴AB与⊙O相切。 (2)四边形OECF的形状是菱形,理由如下: 如图,取圆周角∠M,则∠M+∠ECF=180°。
由圆周角定理得:∠EOF=2∠M, ∵∠ECF=∠EOF,∴∠ECF=2∠M, ∴3∠M=180°,∠M=60°。 ∴∠EOF=∠ECF=120°。 ∵OA=OB,∴∠A=∠B=30°。 ∴∠EOC=90°﹣30°=60°。 ∵OE=OC,∴△OEC是等边三角形。∴EC=OE。 同理OF=FC。 ∴OE=EC=FC=OF。∴四边形OECF是菱形。 |
解析
试题分析:(1)连接OC,根据三线合一得出OC⊥AB,根据切线判定推出即可。 (2)取圆周角∠M,根据圆周角定理和圆内接四边形性质得出∠M+∠ECF=180°,∠EOF=2∠M,推出∠ECF=2∠M,求出∠M,求出∠EOF,得出等边三角形OEC,推出OE=EC,同理得出OF=FC,推出OE=OF=FC=EC,根据菱形判定推出即可。 |
举一反三
如图,A、B、C是⊙O上的三点,∠AOC=100°,则∠ABC的度数为
A.30° B.45° C.50° D.60° |
如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点D,直径AB左侧的半圆上有一点动点E(不与点A、B重合),连结EB、ED。
(1)如果∠CBD=∠E,求证:BC是⊙O的切线; (2)当点E运动到什么位置时,△EDB≌△ABD,并给予证明; (3)若tanE=,BC=,求阴影部分的面积。(计算结果精确到0.1) (参考数值:π≈3.14, ≈1.41,≈1.73) |
如图,△ABC内接于⊙O,∠A=50°,则∠OBC的度数为
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如图,ABCD中,AB=2,以点A为圆心,AB为半径的圆交边BC于点E,连接DE、AC、AE.
(1)求证:△AED≌△DCA; (2)若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E,求图中阴影部分(扇形)的面积. |
如图,在⊙O中,直径CD⊥弦AB,则下列结论中正确的是
A.AD=AB | B.∠BOC=2∠D | C.∠D+∠BOC=90° | D.∠D=∠B |
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