试题分析:连接OB,可得∠ABO=30°,则∠OBC=30°,根据直角三角形的性质得OC=OB=OA,再根据三角函数cos∠OBC=,则BC=OB,因为点O在∠ABC的角平分线上,所以点O到直线AB的距离等于OC的长,根据垂径定理得直线AC是弦BD的垂直平分线,则点A、B、D将⊙O的三等分. 连接OB
∴OA=OB, ∴∠A=∠ABO, ∵∠C=90°,∠A=30°, ∴∠ABC=60°, ∴∠OBC=30°, ∴OC=OB=OA, 即OA=2OC, 故①正确; ∵cos∠OBC=, ∴BC=OB,即BC=OA 故②错误; ∵∠ABO=∠OBC=30°, ∴点O在∠ABC的角平分线上, ∴点O到直线AB的距离等于OC的长, 即以O为圆心,以OC为半径的圆与AB相切; 故③正确; 延长BC交⊙O于D, ∵AC⊥BD, ∴AD=AB, ∴△ABD为等边三角形,
∴点A、B、D将⊙O的三等分. 故④正确. 故答案为①③④. 点评:本题知识点多,综合性强,是中考常见题,需要学生熟练掌握平面图形的基本概念,难度较大. |