如图，已知AD为⊙O的直径，B为AD延长线上一点，BC与⊙O切于C点，∠A=30°．求证：（1）BD=CD；（2）△AOC≌△CDB．

题型：不详难度：来源：

如图，已知AD为⊙O的直径，B为AD延长线上一点，BC与⊙O切于C点，∠A=30°．

求证：（1）BD=CD；（2）△AOC≌△CDB．

答案

证明见解析

解析

证明：（1）∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°。
又∵∠A=30°，OA=OC=OD，∴∠ACO=30°，∠ODC=∠OCD=60°。
又∵BC与⊙O切于C，∴∠OCB=90°，∴∠BCD=30°。∴∠B=30°。
∴∠BCD=∠B。∴BD=CD。
（2）∵∠A=∠ACO=∠BCD=∠B=30°，∴AC=BC。
在△AOC和△BDC中，∵∠A =∠B，AC=BC，∠ACO=∠BCD，
∴△AOC≌△BDC（ASA）。
（1）由AD为⊙O的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得∠ACD=90°，又由∠A=30°，OA=OC=OD，利用等边对等角与三角形外角的性质，即可求得∠ACO=30°，∠ODC=∠OCD=60°，又由BC与⊙O切于C点，根据切线的性质，即可求得∠B=∠BCD=30°，由等角对等边，即可证得BD=CD。
（2）由（1）可知∠A=∠ACO=∠BCD=∠B=30°，即可得AC=BC，然后由ASA，即可证得△AOC≌△CDB。