如图1,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为,直线与坐标轴分别交于A、C两点,点B的坐标为(4,1),⊙B与x轴相切于点M。(1)求点A的坐标及
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如图1,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为,直线与坐标轴分别交于A、C两点,点B的坐标为(4,1),⊙B与x轴相切于点M。(1)求点A的坐标及
题型:不详
难度:
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如图1,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为
,直线
与坐标轴分别交于A、C两点,点B的坐标为(4,1),⊙B与x轴相切于点M。
(1)求点A的坐标及∠CAO的度数;
(2)⊙B以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移,同时,若直线
绕点A顺时针匀速旋转,当⊙B第一次与⊙O相切时,直线
也恰好与⊙B
第一次
相切,见图(2)求B
1
的坐标以及直线AC绕点A每秒旋转多少度?
(3)若直线
不动,⊙B沿x轴负方向平移过程中,能否与⊙O与直线
同时相切。若相切,说明理由。
答案
解: (1)A(
,0)
∵ C(0,
). ∴ OA=OC ∵ OA⊥OC, ∴∠CAO=45°
(2) 如图,设⊙B平移t秒到⊙B
1
处与⊙O第一次相切,此时,直线l旋转到l
1
恰好与⊙B
1
第一次相切于点P,⊙B
1
与x轴相切于点N,连接B
1
O,B
1
N.
则MN=t,O B
1
=
,
B
1
N=1,B
1
N⊥AN.
∴ON=1,∴MN=3,即t=3
连接B
1
A,B
1
P,则B
1
P⊥AP,B
1
P= B
1
N,∴∠PA B
1
="∠NA" B
1
.
∵OA="O" B
1
=
,∴∠A B
1
O="∠NA" B
1
. ∴∠PA B
1
=∠A B
1
O. ∴PA∥B
1
O.
在Rt△NO B
1
中,∠B
1
ON=45° ∴∠PAN=45° ∴∠1=90°.
∴直线AC绕点A平均每秒旋转30°
(3) 能,设⊙B与⊙O第二次相切时⊙B的圆心为B
2
,作B
2
E⊥AC于E,
作OH⊥AC于H,则四边形B
2
EHO为矩形,则B
2
E=OH=1,故此时⊙B与直线
同时相切。
解析
(1)根据直线的解析式,易得AC的坐标,进而可得OA、OC的关系,由三角函数的定义可得∠CAO的大小;
(2)设相切时,MN=t,易得ON,MN的值,进而可得∠AB1O=∠NAB1,故PA∥B1O;易得在Rt△NOB
1
中,∠1=90°,即可得出答案;
(3)先假设能,且设⊙B与⊙O第二次相切时⊙B的圆心为B
2
,作B
2
E⊥AC于E.易得四边形B
2
EHO为平行四边形,此时⊙B与直线l同时相切.
举一反三
如图,⊙
O
是△A
BC
的外接圆,∠
OCB
=40°则∠
A
的度数等于( )
A. 60°
B. 50°
C. 40°
D.30°
题型:不详
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|
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如图,以
为圆心的两个同心圆中,大圆的弦
切小圆于点
,若
,则大圆半径
与小圆半径
之间满足( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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|
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已知⊙
O
1
与⊙
O
2
的半径分别为3和5,且⊙
O
1
与⊙
O
2
相切,则
O
1
O
2
等于
。
题型:不详
难度:
|
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如图,已知
A
、
B
两点的坐标分别为
、(0,2),
P
是△
AOB
外接圆上的一点,且∠
AOP
=45°,则点
P
的坐标为
。
题型:不详
难度:
|
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如图,
为
外接圆的直径,
,垂足为点
,
的平分线交
于点
,连接
,
。
(1) 求证:
;
(2) 请判断
,
,
三点是否在以
为圆心,以
为半径的圆上?并说明理由。
题型:不详
难度:
|
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