如图,已知AB是⊙O的直径,PB为⊙O的切线,B为切点,OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E.(1)求证:∠OPB=∠AEC;(2)若点C为半圆的三等分点,请你判断
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如图,已知AB是⊙O的直径,PB为⊙O的切线,B为切点,OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E. (1)求证:∠OPB=∠AEC; (2)若点C为半圆的三等分点,请你判断四边形AOEC为哪种特殊四边形?并说明理由. |
答案
(1)证明:∵AB是⊙O的直径,PB为⊙O的切线, ∴PB⊥AB. ∴∠OPB+∠POB=90°. ∵OP⊥BC, ∴∠ABC+∠POB=90°. ∴∠ABC=∠OPB. 又∵∠AEC=∠ABC, ∴∠OPB=∠AEC. (2)解:四边形AOEC是菱形. ∵OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E,∴=. ∵C为半圆ACB¯的三等分点,∴==. ∴∠ABC=∠ECB.∴AB∥CE. ∵AB是⊙O的直径,∴AC⊥BC. 又 OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E, ∴AC∥OE.∴四边形AOEC是平行四边形. 又 OA=OE,∴四边形AOEC是菱形. |
解析
(1)找中间量∠ABC,利用等角的余角相等证∠ABC=∠OPB,同弧所对的圆周角相等即可 (2)利用用一组邻边相等的平行四边形是菱形及两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可。 |
举一反三
两圆的圆心都在x轴上,且两圆相交于A,B两点,点A的坐标是(3,2),那么点B的坐标为 |
如图,⊙O是△ABC的外接圆,已知∠ABO=40°,则∠ACB的大小为【 】
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如图,△ABC内接于⊙O,AB=8,AC=4,D是AB边上一点,P是优弧的中点,连接PA、PB、PC、PD,当BD的长度为多少时,△PAD是以AD为底边的等腰三角形?并加以证明。 |
如图,AB是⊙O的弦,AB长为8,P是⊙O上一个动点(不与A、B重合),过点O作OC⊥AP于点C,OD⊥PB于点D,则CD的长为 ▲ . |
如图,△OAC中,以O为圆心,OA为半径作⊙O,作OB⊥OC交⊙O于B,垂足为O,连接AB交OC于点D,∠CAD=∠CDA. (1)判断AC与⊙O的位置关系,并证明你的结论; (2)若OA=5,OD=1,求线段AC的长. |
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