如图,△OAC中,以O为圆心,OA为半径作⊙O,作OB⊥OC交⊙O于B,垂足为O,连接AB交OC于点D,∠CAD=∠CDA.(1)判断AC与⊙O的位置关系,并证
题型:不详难度:来源:
如图,△OAC中,以O为圆心,OA为半径作⊙O,作OB⊥OC交⊙O于B,垂足为O,连接AB交OC于点D,∠CAD=∠CDA. (1)判断AC与⊙O的位置关系,并证明你的结论; (2)若OA=5,OD=1,求线段AC的长. |
答案
(1)线段AC是⊙O的切线。理由见解析(2)12 |
解析
解:(1)线段AC是⊙O的切线。理由如下: ∵∠CAD=∠CDA(已知),∠BDO=∠CDA(对顶角相等), ∴∠BDO=∠CAD(等量代换)。 又∵OA=OB(⊙O的半径),∴∠B=∠OAB(等边对等角)。 ∵OB⊥OC(已知),∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°,即∠OAC=90°。 ∴线段AC是⊙O的切线。 (2)设AC=x. ∵∠CAD=∠CDA(已知),∴DC=AC=x(等角对等边)。 ∵OA=5,OD=1,∴OC=OD+DC=1+x; ∵由(1)知,AC是⊙O的切线, ∴在Rt△OAC中,根据勾股定理得,OC2=AC2+OA2,即(1+x)2=x2+52,解得x=12。 ∴AC=12. (1)根据已知条件“∠CAD=∠CDA”、对顶角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD;然后根据等腰三角形OAB的两个底角相等、直角三角形的两个锐角互余的性质推知 ∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°,即∠OAC=90°。所以线段AC是⊙O的切线。 (2)根据“等角对等边”可以推知AC=DC,所以由图形知OC=OD+CD;然后利用(1)中切线的性质可以在在Rt△OAC中,根据勾股定理来求AC的长度。 |
举一反三
如图,已知∠OCB=20°,则∠A= ▲ 度. |
已知两圆的半径分别为1和3,当这两圆内含时,圆心距d的范围是【 】A.0<d<2 | B.1<d<2 | C.0<d<3 | D.0≤d<2 |
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已知一个圆的半径为5cm,则它的内接正六边形的边长为 ▲ |
有一个底面半径为3cm,母线长10cm的圆锥,则其侧面积是 ▲ cm2 |
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