如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D 为AC上一点，∠AOD＝∠C．（1）求证：OD⊥AC；（2）若AE＝8，cosA＝，求OD的长．

题型：不详难度：来源：

如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D 为AC上一点，∠AOD＝∠C．

（1）求证：OD⊥AC；
（2）若AE＝8，cosA＝，求OD的长．

答案

⑴证明过程见解析，⑵3

解析

（1）证明：∵BC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径
∴∠ABC=90°，------------------2分
∠A+∠C=90°，又∵∠AOD=∠C，
∴∠AOD+∠A=90°，-----------------------3分
∴∠ADO=90°，∴OD⊥AC.            ----------------4分
（2）解：∵OD⊥AE，O为圆心，
∴D为AE中点 ，---------------------------5分
∴，-------------------6分
又∵cosA=，∴=∴AO=5--------------7分
∴OD="3----------------------" -8分
（1）根据切线的性质得出∠ABC=90°，进而得出∠A+∠C=90°，再由∠AOD=∠C，可得∠AOD+∠A=90°，即可证明；（2）由垂径定理可得，D为AE中点，根据已知可利用锐角三角函数求出