如图，在直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上, 以OB为直径的⊙C与AB交于点D， DE与⊙C相切交x轴于点E, 且OA=cm，∠OA

题型：不详难度：来源：

如图，在直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上, 以OB为直径的⊙C与AB交于点D， DE与⊙C相切交x轴于点E, 且OA=cm，∠OAB="30°."

（1）求点B的坐标及直线AB的解析式;
（2）过点B作BG^EC于 F, 交x轴于点G, 求BD的长及点F的坐标;
（3）设点P从点A开始沿ABG的方向以4cm/s的速度匀速向点G移动，点Q同时
从点A开始沿AG匀速向点G移动, 当四边形CBPQ为平行四边形时, 求点Q的移动
速度.

答案

解:（1）由OA^ OB, ∠OAB="30°," OA=，可得AB=2OB.
在Rt△AOB中, 由勾股定理得OB=12，AB=24.
∴ B(0, 12).                           …………………………………………1分
∵ OA=,
∴ A (,0).
可得直线AB的解析式为.                   ……………………2分
（2）法一：连接CD, 过F作FM⊥x轴于点M,则CB=CD.
∵∠OBA=90°-∠A=60°,
∴△CBD是等边三角形.
∴ BD=CB=OB="6,   " ……………………3分
∠BCD="60°," ∠OCD="120°."
∵ OB是直径，OA^ OB,
∴ OA切⊙C于O.
∵ DE切⊙C于D,
∴∠COE=∠CDE="90°," ∠OEC=∠DEC.
∴∠OED="360°" -∠COE-∠CDE -∠OCD = 60°.
∴∠OEC=∠DEC=30°.
∴ CE="2" CO=12.
∴在Rt△COE中, 由勾股定理OE=.      ……………………4分
∵ BG^EC于F,
∴∠GFE=90°.
∵∠GBO +∠BGO=∠OEC +∠BGO ,
∴∠GBO=∠OEC =30°.
故可得FC=BC="3," EF="FC+CE=15, "
FM=EF=, ME=FM=          ………………………………………5分
∴ MO=
∴ F(,).                          ………………………………………6分
法二：连接OD, 过D作DH^ OB于H.
∵ OB是直径，
∴∠BDO=90°.
∵∠BOD +∠DOA=∠A +∠DOA,
∴∠BOD=∠A ="30°."
由（1）OB=12,
∴                ……………………………………………………3分
在Rt△DOB中, 由勾股定理得 OD=.
在Rt△DOH中, 由勾股定理得 HD=, OH=9.
∴ D(, 9).
可得直线 OD的解析式为
由BG//DO, B(0, 12)，
可得直线BG的解析式为          ……………………………………4分
∵ OB是直径，OA^ OB,
∴ OA切⊙C于O.
∵ DE切⊙C于D,
∴ EO="ED."
∵∠DOE=∠BOA -∠BOD =60°,
∴△ODE是等边三角形.
∴.           
∴ EA="OA-" OE=.
∵ OC="CB=6," OE=EA=,
∴ C(0, 6), CE//BA.    
∴直线CE的解析式为        ………………………………………5分
由  
∴ F(,).                ……………………………………………………6分
（3）设点Q移动的速度为vcm/s .
(ⅰ)当点P运动到AB中点，点Q运动到AO中点时，
PQ∥BC，且PQ=BC，此时四边形CBPQ为平行四边形, 点Q与点E重合.

∴（cm/s）.             ………………………………………7分
(ⅱ) 当点P运动到BG中点，点Q运动到OG中点时，
PQ∥BC，PQ="BC," 此时四边形CBPQ为平行四边形.
可得BG=从而PB=,OQ=
∴
∴（cm/s）. (分母未有理化不扣分)  ………8分
∴点Q的速度为cm/s或 cm/s.    

解析

略