如图一,在△ABC中,分别以AB,AC为直径在△ABC外作半圆和半圆,其中和分别为两个半圆的圆心. F是边BC的中点,点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点. (1

如图一,在△ABC中,分别以AB,AC为直径在△ABC外作半圆和半圆,其中和分别为两个半圆的圆心. F是边BC的中点,点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点. (1

题型:不详难度:来源:
如图一,在△ABC中,分别以AB,AC为直径在△ABC外作半圆和半圆,其中分别为两个半圆的圆心. F是边BC的中点,点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点.

(1)连结,证明:
(2)如图二,过点A分别作半圆和半圆的切线,交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q,连结PQ,若∠ACB=90°,DB=5,CE=3,求线段PQ的长;

(3)如图三,过点A作半圆的切线,交CE的延长线于点Q,过点Q作直线FA的垂线,交BD的延长线于点P,连结PA. 证明:PA是半圆的切线
答案

(1)证明略
(2)
(3)证明略
解析
(1)证明:如图一,∵,F分别是AB,AC,BC边的中点,

F∥AC且F =AF∥AB且F =A
∴∠BF=∠BAC,∠CF=∠BAC,
∴∠BF=∠CF
∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点,
F =A=E,F =A=D,       ……………………….2分
∠BD =90°,∠CE =90°,
∴∠BD=∠CE.
∴∠DF=∠FE.
.                  ………………………….3分
(2)解:如图二,延长CA至G,使AG=AQ,连接BG、AE.

∵点E是半圆圆弧的中点,
∴AE=CE=3
∵AC为直径
∴∠AEC=90°,
∴∠ACE=∠EAC =45°,AC==
∵AQ是半圆的切线,
∴CA⊥AQ,∴∠CAQ=90°,
∴∠ACE=∠AQE=45°,∠GAQ="90°"   
∴AQ=AC=AG=
同理:∠BAP=90°,AB=AP=
∴CG=,∠GAB=∠QAP
.                                            ……………………..5分
∴PQ=BG
∵∠ACB=90°,
∴BC==
∴BG==
∴PQ=.                 …………………..6分
(3) 证法一:如图三,设直线FA与PQ的垂足为M,过C作CS⊥MF于S,过B作BR⊥MF于R,连接DR、AD、DM.

∵F是BC边的中点,∴.
∴BR=CS,
由(2)已证∠CAQ="90°," AC=AQ,
∴∠2+∠3=90°
∵FM⊥PQ, ∴∠2+∠1=90°,
∴∠1=∠3,
同理:∠2=∠4,

∴AM=CS,
∴AM=BR,
同(2)可证AD=BD,∠ADB=∠ADP=90°,
∴∠ADB=∠ARB="90°," ∠ADP=∠AMP=90°
∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上,A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上,
且∠DBR+∠DAR=180°,
∴∠5=∠8, ∠6=∠7,
∵∠DAM+∠DAR=180°,
∴∠DBR=∠DAM

∴∠5=∠9,
∴∠RDM=90°,
∴∠5+∠7=90°,
∴∠6+∠8=90°,
∴∠PAB=90°,
∴PA⊥AB,又AB是半圆直径,
∴PA是半圆的切线.                ……………………..8分
证法二:假设PA不是是半圆的切线,如图四,

过点A作半圆的切线交BD的延长线于点,则点异于点P,连结,设直线FA与PQ的垂足为M,直线FA与的交点为.延长AF至N,使得AF=FN,连结BN,CN,由于点F是BC中点,所以四边形ABNC是平行四边形.
易知,
∵AQ是半圆的切线,
∴∠QAC=90°,同理.
.
.
由(2)可知,,
.
.
,
.
即 .
.
即 .
,
∴ 过点Q有两条不同的直线同时与AF垂直.
这与在平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾,
因此假设错误.所以PA是是半圆的切线.
举一反三
如图,点A、B、C都在上,若∠AOB=72°,则∠ACB的度数为

A.18°     B.30°       C.36°    D.72°
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如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上的两点,若∠BAC=20°,,则∠DAC的度数是

A.30°        B.35°       C.45°         D.70°
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已知:如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦, 且AB⊥CD,垂足为E,联结OC, OC=5.

(1)若CD=8,求BE的长;
(2)若∠AOC=150°, 求扇形OAC的面积.
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如图,在⊙O中,∠BOC=100°,则∠A等于
A.100°B.50°C.40°D.25°

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在同一平面内,过已知A、B、C三个点可以作圆的个数为
A.0个       B.1个          C.2个          D.0个或1个
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