(1)证明:如图一,∵ , ,F分别是AB,AC,BC边的中点,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105063310-48191.gif) ∴ F∥AC且 F =A , F∥AB且 F =A , ∴∠B F=∠BAC,∠C F=∠BAC, ∴∠B F=∠C F ∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点, ∴ F =A = E, F =A = D, ……………………….2分 ∠B D =90°,∠C E =90°, ∴∠B D=∠C E. ∴∠D F=∠F E. ∴ . ………………………….3分 (2)解:如图二,延长CA至G,使AG=AQ,连接BG、AE.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105063312-49981.gif) ∵点E是半圆 圆弧的中点, ∴AE=CE=3 ∵AC为直径 ∴∠AEC=90°, ∴∠ACE=∠EAC =45°,AC= = , ∵AQ是半圆 的切线, ∴CA⊥AQ,∴∠CAQ=90°, ∴∠ACE=∠AQE=45°,∠GAQ="90°" ∴AQ=AC=AG=![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105063312-21587.gif) 同理:∠BAP=90°,AB=AP=![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105063312-34288.gif) ∴CG= ,∠GAB=∠QAP ∴ . ……………………..5分 ∴PQ=BG ∵∠ACB=90°, ∴BC= =![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105063313-54214.gif) ∴BG= =![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105063311-95010.gif) ∴PQ= . …………………..6分 (3) 证法一:如图三,设直线FA与PQ的垂足为M,过C作CS⊥MF于S,过B作BR⊥MF于R,连接DR、AD、DM.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105063313-87582.gif) ∵F是BC边的中点,∴ . ∴BR=CS, 由(2)已证∠CAQ="90°," AC=AQ, ∴∠2+∠3=90° ∵FM⊥PQ, ∴∠2+∠1=90°, ∴∠1=∠3, 同理:∠2=∠4, ∴ , ∴AM=CS, ∴AM=BR, 同(2)可证AD=BD,∠ADB=∠ADP=90°, ∴∠ADB=∠ARB="90°," ∠ADP=∠AMP=90° ∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上,A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上, 且∠DBR+∠DAR=180°, ∴∠5=∠8, ∠6=∠7, ∵∠DAM+∠DAR=180°, ∴∠DBR=∠DAM ∴ , ∴∠5=∠9, ∴∠RDM=90°, ∴∠5+∠7=90°, ∴∠6+∠8=90°, ∴∠PAB=90°, ∴PA⊥AB,又AB是半圆 直径, ∴PA是半圆 的切线. ……………………..8分 证法二:假设PA不是是半圆 的切线,如图四,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105063314-82568.gif) 过点A作半圆 的切线交BD的延长线于点 ,则点 异于点P,连结 ,设直线FA与PQ的垂足为M,直线FA与 的交点为 .延长AF至N,使得AF=FN,连结BN,CN,由于点F是BC中点,所以四边形ABNC是平行四边形. 易知, , ∵AQ是半圆 的切线, ∴∠QAC=90°,同理 . ∴ . ∴ . 由(2)可知, , ∴ . ∴ . ∵ , ∴ . 即 . ∴ . 即 . ∵ , ∴ 过点Q有两条不同的直线 和 同时与AF垂直. 这与在平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾, 因此假设错误.所以PA是是半圆 的切线. |