(本题满分10分)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.(1)求证:PC是⊙O的切线;

(本题满分10分)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.(1)求证:PC是⊙O的切线;

题型:不详难度:来源:
(本题满分10分)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.

(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)求证:BC=AB;
(3)点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN·MC的值.
答案

(1)PC是⊙O的切线,证明略。
(2)BC=AB,证明略。
(3)MC·MN=BM2=8
解析
(本题满分10分)
解:(1)∵OA=OC,∴∠A=∠ACO    
∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB            
∴∠A=∠ACO=∠PCB     ……………………………………………………1分
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90°       …………………………………………………2分
∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP    …………………………………………3分
∵OC是⊙O的半径                    
∴PC是⊙O的切线         …………………………………………………4分
   (2)∵PC="AC " ∴∠A=∠P
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P   
∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB
∴∠CBO=∠COB                ……………………………………………5分
∴BC=OC
∴BC=AB            ………………………………………………………6分
       
(3)连接MA,MB                         
∵点M是弧AB的中点
∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM   ………7分    
∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM        
∵∠BMC=∠BMN
∴△MBN∽△MCB                  
  
∴BM2=MC·MN       ……………………8分
∵AB是⊙O的直径,弧AM=弧BM
∴∠AMB=90°,AM=BM
∵AB="4 " ∴BM=   ………………………………………………………9分
∴MC·MN=BM2="8        " ……………………………………………………10分
举一反三
现有一个圆心角为,半径为的扇形纸片,用它恰好围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计).该圆锥底面圆的半径为
A.B.C.D.

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(本题满分8分)
如图,的外接圆,,过点,交的延长线于点

(1)求证:的切线;
(2)若的半径,求线段的长.
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如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,若AB=10,CD=8,

则线段OE的长为          .
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如图,已知△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D,过D作DE⊥BC,垂足为E,连结OE,CD=,∠ACB=30°.

(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)分别求AB,OE的长;
(3)填空:如果以点E为圆心,r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为1,则r的取值范围为        .
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(本题满分10分)如图,AB是⊙O的直径, PAB延长线上任意一点,C为半圆ACB的中点,PD切⊙O于点D,连结CDAB于点E

求证:(1)PD=PE
(2)
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