如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC与E,交BC与D.求证:(1)D是BC的中点;(2)△BEC∽△ADC;(3)BC2=2AB•CE.

如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC与E,交BC与D.求证:(1)D是BC的中点;(2)△BEC∽△ADC;(3)BC2=2AB•CE.

题型:不详难度:来源:
如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC与E,交BC与D.求证:
(1)D是BC的中点;
(2)△BEC△ADC;
(3)BC2=2AB•CE.
答案
证明:(1)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
即AD是底边BC上的高,(1分)
又∵AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形,
∴D是BC的中点;(3分)

(2)∵∠CBE与∠CAD是
DE
所对的圆周角,
∴∠CBE=∠CAD,(5分)
又∵∠BCE=∠ACD,
∴△BEC△ADC;(6分)

(3)由△BEC△ADC,知
CD
CE
=
AC
BC

即CD•BC=AC•CE,(8分)
∵D是BC的中点,
∴CD=
1
2
BC,
又∵AB=AC,
∴CD•BC=AC•CE=
1
2
BC•BC=AB•CE,
即BC2=2AB•CE.(10分)
举一反三
下列四个命题:①顶点在圆心的角是圆心角;②两个圆心角相等,它们所对的弦也相等;③两条弦相等,它们所对的弧也相等;④等弧所对的圆心角相等.其中正确的有(  )
A.0个B.1个C.2个D.3个
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如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,∠BAC=30°,则
AC
的度数是(  )
A.30°B.60°C.90°D.120°

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如图:A、B、C是⊙O上的三点,∠BAC=45°,则∠BOC=______°.
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如图,⊙O中,
MAN
的度数为320°,则圆周角∠MAN=______度.
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已知:如图,⊙O的两条半径OA⊥OB,C,D是
AB
的三等分点,OC,OD分别与AB相交于点E,F.求证:CD=AE=BF.
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