如图，在△ABC中，点D在AC上，DA=DB，∠C=∠DBC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，F是⊙O上的点，且AF=BF．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）

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如图，在△ABC中，点D在AC上，DA=DB，∠C=∠DBC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，F是⊙O上的点，且AF=BF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若sinC=

3

5

，AE=3

2

，求sinF的值和AF的长．

答案

（1）证明：∵DA=DB（已知），
∴∠DAB=∠DBA（等边对等角）；
又∵∠C=∠DBC（已知），
∴∠DBA﹢∠DBC=

1

2

（∠DAB+∠DBA+∠C+∠DBC）=

1

2

×180°=90°（三角形内角和定理），即∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
又∵点B在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；

（2）如图，连接BE，BF．
∵AB是⊙O的直径（已知），
∴∠AEB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠EBC+∠C=90°（直角三角形的两个锐角互余），
∵∠ABC=90°（由（1）知），
∴∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠C=∠ABE（等量代换）；
又∵∠AFE=∠ABE（同弧所对的圆周角相等），
∴∠AFE=∠C（等量代换），
∴sin∠AFE=sin∠ABE=sinC，
∴sin∠AFE=

3

5

，
∴∠AFB=90°，
在Rt△ABE中，AB=

AE

sin∠ABE

=5

2

∵AF=BF（已知），
∴AF=BF=5．