已知，AB是⊙O的直径，AB=8，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC=5，PT为⊙O的切线，切点为T。（1）如图（1），当C点运动到O点时，

题型：湖南省中考真题难度：来源：

已知，AB是⊙O的直径，AB=8，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC=5，PT为⊙O的切线，切点为T。
（1）如图（1），当C点运动到O点时，求PT的长；
（2）如图（2），当C点运动到A点时，连接PO、BT，求证：PO∥BT；
（3）如图（3），设PT²=y，AC=x，求y与x的函数关系式及y的最小值。

答案

解：（1）连接OT，
当C点运动到O点时，
∵PT为⊙O的切线，
∴OT⊥PT，
∴在Rt△PTO中，
； （2）连接AT，
当C点运动到A点时，
∵PC⊥AB，
∴PA是⊙O的切线，
∵PT为⊙O的切线，
∴PA=PT，PO平分∠APT，
∴PO⊥AT，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ATB是直角，即BT⊥AT，
∴PO∥BT；

（3）连接OP、OT，
∵AC=x，
∴，
∵在Rt△PCO中，
在Rt△POT中，，
∴，
即，
∴，
∴当x=4时，y最小其值为9，
∴y与x的函数关系式为，y的最小值是9。