在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E。(1)求证△ABD为等腰三角形;(2)求证AC
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在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E。 (1)求证△ABD为等腰三角形; (2)求证AC·AF=DF·FE |
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答案
解:(1)由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA, 而∠MCD=∠DCA, 所以∠DBA=∠DAB, 故△ABD为等腰三角形; (2)∵∠DBA=∠DAB, ∴弧AD=弧BD, 又∵BC=AF, ∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA, ∴弧CD=弧DF, ∴CD=DF, 再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知 ∠AFE=∠DBA=∠DCA①, ∠FAE=∠BDE, ∴∠CDA=∠CDB+∠BDA=∠FDA+∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE, ∴AC:FE=CD:AF, ∴AC·AF=CD·FE, 而CD=DF, ∴AC·AF=DF·FE。 |
举一反三
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