如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴、y轴分别相交于A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,其顶点为D.(1)求:经过A、B、C三点的抛物线

如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴、y轴分别相交于A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,其顶点为D.(1)求:经过A、B、C三点的抛物线

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如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴、y轴分别相交于A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,其顶点为D.(1)求:经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)求四边形ABDC的面积;
(3)试判断△BCD与△COA是否相似?若相似写出证明过程;若不相似,请说明理由.
注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(-
b
2a
4ac-b2
4a
)

答案
(1)由题意,得





a-b+c=0
9a+3b+c=0
c=3

解之,得





a=-1
b=2
c=3

∴y=-x2+2x+3;

(2)由(1)可知y=-(x-1)2+4,
∴顶点坐标为D(1,4),
设其对称轴与x轴的交点为E,
∵S△AOC=
1
2
|AO|•|OC|,
=
1
2
×1×3,
=
3
2
,(5分)
S梯形OEDC=
1
2
(|DC|+|DE|)×|OE|,
=
1
2
(3+4)×1,
=
7
2

S△DEB=
1
2
|EB|•|DE|,
=
1
2
×2×4,
=4,(7分)
S四边形ABDC=S△AOC+S梯形OEDC+S△DEB
=
3
2
+
7
2
+4,
=9;

(3)△DCB与△AOC相似,(9分)
证明:过点D作y轴的垂线,垂足为F,
∵D(1,4),F(0,4),
∴Rt△DFC中,DC=


2
,且∠DCF=45°,
在Rt△BOC中,∠OCB=45°,BC=3


2

∴∠AOC=∠DCB=90°三角形相似,
DC
AO
=
BC
CO
=


2
1

∴△DCB△AOC.
举一反三
小胜和小阳用如图所示的两个转盘做游戏,游戏规则如下:分别转两个转盘,将x转盘转到的数字作为横坐标,将y转盘转到的数字作为纵坐标,组成一个点的坐标:(x,y).当这个点在一次函数y=kx的图象上时,小胜得奖品;当这个点在二次函数y=ax2的图象上时,小阳得奖品;其他情况无得奖品.主持人在游戏开始之前分别转了这两个转盘,x盘转到数字3,y盘转到数字9,它们组成点刚好都在这两个函数的图象上.
(1)求k和a的值;
(2)主持人想用列表法求出小胜得奖品和小阳得奖品的概率.请你补全表中他未完成的部分,并写出两人得奖品的概率:P(小胜得奖品)=______,P(小阳得奖品)=______;
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X
Y
123
6
8
9(3,9)
如图,抛物线y=x2+4x与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,AO.
(1)求点A的坐标;
(2)以点A、B、O、P为顶点构造直角梯形,请求一个满足条件的顶点P的坐标.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2,-4),O(0,0),B(2,0)三点.
(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;
(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值.
如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为P(1,-2),且经过点A(-3,6),并与x轴交于点B和C.

(1)求这个二次函数的解析式,并求出点C坐标及∠ACB的大小;
(2)设D为线段OC上一点,满足∠DPC=∠BAC,求D的坐标;
(3)在x轴上,是否存在点M,使得以M为圆心的圆能与直线AC、直线PC及y轴都相切?如果存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
已知:如图,点A在y轴上,⊙A与x轴交于B、C两点,与y轴交于点D(0,3)和点E(0,-1)
(1)求经过B、E、C三点的二次函数的解析式;
(2)若经过第一、二、三象限的一动直线切⊙A于点P(s,t),与x轴交于点M,连接PA并延长与⊙A交于点Q,设Q点的纵坐标为y,求y关于t的函数关系式,并观察图形写出自变量t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,当y=0时,求切线PM的解析式,并借助函数图象,求出(1)中抛物线在切线PM下方的点的横坐标x的取值范围.