如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三点．（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）若点

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如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三点．
（1）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．

答案

（1）把A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax²+bx+c中，得

4a-2b+c=-4

4a+2b+c=0

c=0

解这个方程组，得a=-

，b=1，c=0
所以解析式为y=-

x²+x．

（2）由y=-

x²+x=-

（x-1）²+

，可得
抛物线的对称轴为直线x=1，并且对称轴垂直平分线段OB
∴OM=BM
∴OM+AM=BM+AM
连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小
过点A作AN⊥x轴于点N，
在Rt△ABN中，AB=

AN2+BN2

42+42

，
因此OM+AM最小值为4

．

举一反三

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点为P（1，-2），且经过点A（-3，6），并与x轴交于点B和C．

（1）求这个二次函数的解析式，并求出点C坐标及∠ACB的大小；
（2）设D为线段OC上一点，满足∠DPC=∠BAC，求D的坐标；
（3）在x轴上，是否存在点M，使得以M为圆心的圆能与直线AC、直线PC及y轴都相切？如果存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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已知：如图，点A在y轴上，⊙A与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D（0，3）和点E（0，

-1）
（1）求经过B、E、C三点的二次函数的解析式；
（2）若经过第一、二、三象限的一动直线切⊙A于点P（s，t），与x轴交于点M，连接PA并延长与⊙A交于点Q，设Q点的纵坐标为y，求y关于t的函数关系式，并观察图形写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当y=0时，求切线PM的解析式，并借助函数图象，求出（1）中抛物线在切线PM下方的点的横坐标x的取值范围．

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在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示：抛物线y=ax²+ax-2经过点B．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，将OA=8，AB=6的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M，N以每秒1个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．
（1）点B的坐标为______；用含t的式子表示点P的坐标为______；
（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜8），并求当t为何值时，S有最大值？若有，求出这个最大值；
（3）试探究：在上述运动过程中，是否存在某一个时刻，△OPM是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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已知抛物线的顶点坐标为(

，-

)，且经过点C（1，0），若此抛物线与x轴的另一交点为点B，与y轴的交点为点A，设P、Q分别为AB、OB边上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为每秒1个单位，设P、Q移动时间为t（0≤t≤4）
（1）求此抛物线的解析式并求出P点的坐标（用t表示）；
（2）当△OPQ面积最大时求△OBP的面积；
（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？
（4）△OPQ是否可能为等边三角形？若可能请求出t的值；若不可能请说明理由，并改变点Q的运动速度，使△OPQ为等边三角形，求出此时Q点运动的速度和此时t的值．

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