如图,AB为⊙O直径,C为圆上任一点,作弦CD⊥AB,垂足为H.连接OC.(1)说明∠ACO=∠BCD成立的理由;(2)作∠OCD的平分线CE交⊙O于E,连接O
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如图,AB为⊙O直径,C为圆上任一点,作弦CD⊥AB,垂足为H.连接OC. (1)说明∠ACO=∠BCD成立的理由; (2)作∠OCD的平分线CE交⊙O于E,连接OE(点D、E可以重合),求出点E在弧ADB的具体位置,并说明理由; (3)在(2)的条件下,连接AE,判断圆上是否存在点C,使△ACE为等腰三角形?若存在,请你写出∠CAE的度数.(不用写出推理过程) |
答案
(1)∵CD⊥直径AB, ∴弧BD=弧BC(垂径定理), ∴∠BCD=∠A, ∵OA=OC, ∴∠A=∠ACO, ∴∠ACO=∠BCD;
(2)E为弧ADB的中点. 理由:∵CE平分∠OCD, ∴∠OCE=∠DCE, ∵OE=OC, ∴∠OEC=∠OCE, ∴∠OEC=∠DCE, ∴OE∥CD, 又∵CD⊥AB∴OE⊥AB, ∴E为弧ADB的中点;
(3)当C在优弧ACE上,AC=CE时,∠CAE=67.5°, 当AC=AE时,∠CAE=90°, 当CE=AE时,∠CAE=45°, 当C在劣弧AE上,AC=CE时,∠CAE=22.5°. |
举一反三
已知△ABC中AB=AC,BC=8,其外接圆半径为5,则△ABC的周长为( )A.8+4 | B.8+8 | C.8+4或8+8 | D.以上都不对 |
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等腰△ABC中,AB=AC,高AD交对边BC于D,P为AD上任意一点.以P为圆心过B、C两点的圆交直线AB、AC于G、F两点,证明:BG=CF.
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如图,一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600米,E为弧CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F,OF=300米,则这段弯路的长度为( )A.200π米 | B.100π米 | C.400π米 | D.300π米 |
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已知:如图,在⊙O中,AB为弦,C,D两点在AB上,且AC=BD,求证:△OCD为等腰三角形.
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如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC=13,BC=24,求⊙O的半径.
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