如图,AB是⊙O的直径,动弦CD垂直AB于点E,过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F,若AB=10cm.(1)求证:BF是⊙O的切线.(2)若AD=8cm

如图,AB是⊙O的直径,动弦CD垂直AB于点E,过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F,若AB=10cm.(1)求证:BF是⊙O的切线.(2)若AD=8cm

题型:湖南省中考真题难度:来源:

如图,AB是⊙O的直径,动弦CD垂直AB于点E,过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F,若AB=10cm.
(1)求证:BF是⊙O的切线.
(2)若AD=8cm,求BE的长.
(3)若四边形CBFD为平行四边形,则四边形ACBD为何种四边形?并说明理由.



答案

解:(1)∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,BF∥CD,
∴BF⊥AB,即BF是⊙O的切线;
(2)如图1,连接BD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角);
又∵DE⊥AB
∴AD2=AE×AB;
∵AD=8cm,AB=10cm,AE=6.4cm,
∴BE=AB﹣AE=3.6cm;
(3)连接BC.四边形CBFD为平行四边形,则四边形ACBD是正方形.理由如下:
∵四边形CBFD为平行四边形,
∴BC∥FD,即BC∥AD;
∴∠BCD=∠ADC(两直线平行,内错角相等),
∵∠BCD=∠BAD,∠CAB=∠CDB,(同弧所对的圆周角相等),
∴∠CAB+∠BAD=∠CDB+∠ADC,即∠CAD=∠BDA;
又∵∠BDA=90°(直径所对的圆周角是直角),
∴∠CAD=∠BDA=90°,
∴CD是⊙O的直径,即点E与点O重合(或线段CD过圆心O),如图2,
在△OBC和△ODA中,∵


∴△OBC≌△ODA(SAS),
∴BC=DA(全等三角形的对应边相等),
∴四边形ACBD是平行四边形(对边平行且相等的四边形是平行四边形);
∵∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角),AC=AD,
∴四边形ACBD是正方形.



举一反三
如图,OA为⊙O的半径,以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D,求证:D是AB的中点.
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已知:如图,M的中点,过点M的弦MN交AB于点C,设⊙O的半径为4 cm,
    MN =cm.
(1)()求圆心O到弦MN的距离;
(2)求∠ACM的度数。
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如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,已知CD=12,BE=2,则⊙O的直径为
[     ]
A.8
B.10
C.16
D.20
题型:湖北省中考真题难度:| 查看答案
如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=2,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画圆O分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为(    ).
题型:浙江省中考真题难度:| 查看答案
下面四个命题中,正确的是[     ]
A.平分一条弦的直线必垂直于这条弦  
B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦  
C.相等的圆心角所对的弧相等  
D.在同一个圆中,平分一条弧和这条弧所对弦的直线必经过这个圆的圆心
题型:同步题难度:| 查看答案
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