如图,形如三角板的△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=10cm.点O以2cm/s的速度在直线BC上从左向右运动,设运动时间为t(s),当t=0

如图,形如三角板的△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=10cm.点O以2cm/s的速度在直线BC上从左向右运动,设运动时间为t(s),当t=0

题型:不详难度:来源:
如图,形如三角板的△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=10cm.点O以2cm/s的速度在直线BC上从左向右运动,设运动时间为t(s),当t=0s时,点O在△ABC的左侧,OC=5cm.以点O为圆心、
1
2
t
cm长度为半径r的半圆O与直线BC交于D、E两点
(1)当t为何值时,△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切?
(2)当△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时,如果半圆O与直线DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分,求重叠部分的面积.
答案
(1)①如图1,当点E与点C重合时,
∵AC⊥DE,OC=OE=
1
2
t
cm,
∴AC与半圆O所在的圆相切,
∵原来OC=5,
∴点O运动了(5-
t
2
)cm,
∵点O以2cm/s的速度在直线BC上从左向右运动,
∴运动时间为:t=
5-
t
2
2

t=2(秒),
∴当t=2时,△ABC的边AC所在直线与半圆O所在的圆相切,
②如图2,经过t秒后,动圆圆心移动的为2t,而原来OB=OC+BC=15,此时动圆圆心到B的距离为(15-2t),
此时动圆圆心到AB的距离为
15-2t
2
(30度角所对的直角边等于斜边的一半),
而此时圆的半径是
1
2
t,
则可得:
15-2t
2
=
1
2
t,
解得:t=5.
③如图3,当圆与AC相切时,2t-5=
1
2
t,解得:t=
10
3
秒;
④如图4,当点O运动到B点的右侧,OB=2t-5-BC=2t-15,
∵在Rt△QOB中,∠OBQ=30°,
∴OQ=
1
2
OB=
1
2
(2t-15)=t-
15
2

圆O的半径是
1
2
t,则t-
15
2
=
t
2
,解得:t=15.
总之,当t为2s,10s,
10
3
s,15s时,△ABC的一边所在的直线与半圆O所在圆相切.


(2)当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时,半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有如图②与③所示的两种情形.
①如图②,设OA与半圆O的交点为M,易知重叠部分是圆心角为90°,半径为5cm的扇形,所求重叠部分面积为:S扇形EOM=
1
4
π×52=
25
4
π(cm2
②图③,当圆O与AC相切时,半径长是
1
2
×
10
3
=
5
3

则半圆O在△ABC的内部,因而重合部分就是半圆O,则面积是:
1
2
π(
5
3
2=
25π
18
举一反三
如图,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A、C,∠BAD=∠B=30°,边BD交⊙O于点D.
(1)BD是⊙O的切线吗?为什么?
(2)若AC=10,求线段BC的长度.
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如图示PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,直线EF也是⊙O的切线,Q是切点,交PA、PB于E、F点.若PA=10cm,则△PEF的周长为______cm;若∠APB=50°,则∠EOF的度数为______.
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如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,AD垂直于过点C的直线,垂足为D,且AC平分∠BAD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若AC=2


5
,CD=2,求⊙O的直径.
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已知:在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB交⊙O于G、H两点,AC交⊙O于F、E两点,GH=FE,BH=CE.
(1)如图1,求证:AO垂直平分BC;
(2)如图2,BF与CG交于点M,连接AM,并延长分别交GF、BC于点N、D,若BH=1,GH=3,GA=2,求
MN
MD
的值;
(3)在图3中,若⊙O与底边BC相切于中点D,点G、F分别为AB、AC的中点,请你找出与EF相等的线段,并加以证明.
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如图所示,CA为⊙O的切线,切点为A,点B在⊙O上,如果∠CAB=55°,那么∠AOB等于(  )
A.120°B.110°C.90°D.55°

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