如图,△ABC为圆O的内接三角形,BD为⊙O的直径,AB=AC,AD交BC于E,AE=2,ED=4.(1)求证:△ABE∽△ADB,并求AB的长;(2)延长DB
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如图,△ABC为圆O的内接三角形,BD为⊙O的直径,AB=AC,AD交BC于E,AE=2,ED=4.(1)求证:△ABE∽△ADB,并求AB的长;(2)延长DB
题型:不详
难度:
来源:
如图,△ABC为圆O的内接三角形,BD为⊙O的直径,AB=AC,AD交BC于E,AE=2,ED=4.
(1)求证:△ABE
∽
△ADB,并求AB的长;
(2)延长DB到F,使BF=BO,连接FA,那么直线FA与⊙O相切吗?为什么?
答案
(1)证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C.
∵∠C=∠D,
∴∠ABC=∠D.
又∵∠BAE=∠DAB,
∴△ABE
∽
△ADB,(3分)
∴
AB
AD
=
AE
AB
,
∴AB
2
=AD•AE=(AE+ED)•AE=(2+4)×2=12,
∴AB=2
3
.(5分)
(2)直线FA与⊙O相切.(6分)
理由如下:
连接OA,
∵BD为⊙O的直径,
∴∠BAD=90°,
∴BD=
A
B
2
+A
D
2
=
12+
(2+4)
2
=
48
=4
3
,
∴BF=BO=
1
2
BD=
1
2
×4
3
=2
3
.
∵AB=2
3
,
∴BF=BO=AB,
∴∠OAF=90°.
∴直线FA与⊙O相切.(8分)
举一反三
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,点E是AB上一点,以AE为直径的⊙O过点D,且交AC于点F.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若CD=6,AC=8,求AE.
题型:不详
难度:
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如图,AB是半圆O的直径,点M是半径OA的中点,点P在线段AM上运动(不与点M重合),点Q在半圆O上运动,且总保持PQ=PO,过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C.
(1)当∠QPA=60°时,请你对△QCP的形状做出猜想,并给予证明;
(2)当QP⊥AB时,△QCP的形状是______三角形;
(3)由(1)、(2)得出的结论,请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时,△Q
CP一定是______三角形.
题型:不详
难度:
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如图,AB是⊙O的直径,∠BAC=60°,P是OB上一点,过P作AB的垂线与AC的延长线
交于点Q,过点C的切线CD交PQ于D,连接OC.
(1)求证:△CDQ是等腰三角形;
(2)如果△CDQ≌△COB,求BP:PO的值.
题型:不详
难度:
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如图,CD切⊙O于B,CO的延长线交⊙O于A,若∠C=36°,则∠ABD的度数是( )
A.72°
B.63°
C.54°
D.36°
题型:不详
难度:
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已知,如图,AB是⊙O的直径,直线EF切⊙O于点B,C和D是⊙O上的点,且∠CBE=40°,AD=CD,则∠BCD的度数是( )
A.110°
B.115°
C.120°
D.130°
题型:不详
难度:
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