(1)证明:如图一,
∵O1,O2,F分别是AB,AC,BC边的中点, ∴O1F∥AC且O1F=AO2,O2F∥AB且O2F=AO1, ∴∠BO1F=∠BAC,∠CO2F=∠BAC, ∴∠BO1F=∠CO2F ∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点, ∴O1F=AO2=O2E,O2F=AO1=O1D, ∠BO1D=90°,∠CO2E=90°, ∴∠BO1D=∠CO2E. ∴∠DO1F=∠FO2E. ∴△DO1F≌△FO2E;
(2)如图二,延长CA至G,使AG=AQ,连接BG、AE.
∵点E是半圆O2圆弧的中点, ∴AE=CE=3 ∵AC为直径 ∴∠AEC=90°, ∴∠ACE=∠EAC=45°,AC==3, ∵AQ是半圆O2的切线, ∴CA⊥AQ, ∴∠CAQ=90°, ∴∠ACE=∠AQE=45°,∠GAQ=90°, ∴AQ=AC=AG=3, 同理:∠BAP=90°,AB=AP=5, ∴CG=6,∠GAB=∠QAP, ∴△AQP≌△AGB. ∴PQ=BG, ∵∠ACB=90°, ∴BC==4, ∴BG==2, ∴PQ=2;
(3)如图三,设直线FA与PQ的垂足为M,过C作CS⊥MF于S,过B作BR⊥MF于R,连接DR、AD、DM.
∵F是BC边的中点,∴S△ABF=S△ACF. ∴BR=CS, 由(2)已证∠CAQ=90°,AC=AQ, ∴∠2+∠3=90° ∵FM⊥PQ,∴∠2+∠1=90°, ∴∠1=∠3, 同理:∠2=∠4, ∴△AMQ≌△CSA, ∴AM=CS, ∴AM=BR, 同(2)可证AD=BD,∠ADB=∠ADP=90°, ∴∠ADB=∠ARB=90°,∠ADP=∠AMP=90° ∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上,A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上, 且∠DBR+∠DAR=180°, ∴∠5=∠8,∠6=∠7, ∵∠DAM+∠DAR=180°, ∴∠DBR=∠DAM ∴△DBR≌△DAM, ∴∠5=∠9, ∴∠RDM=90°, ∴∠5+∠7=90°, ∴∠6+∠8=90°, ∴∠PAB=90°, ∴PA⊥AB,又AB是半圆O1直径, ∴PA是半圆O1的切线. |