(1)①线段DT、DS的数量和位置关系分别是:DT=DS,DT⊥DS.理由如下: ∵AC为正方形ABCD的对角线, ∴∠TAD=45°, ∵TS为直径, ∴∠SDT=90°, 又∵∠TSD=∠TAD, ∴∠TSD=45°, ∴△DST为等腰直角三角形, ∴DT=DS,DT⊥DS; ②∵∠SDT=∠ADC=90°, ∴∠SDA=∠CDT, 又∵TS为直径, ∴∠SAT=90°, ∴∠SAD=45°, ∴∠SAD=∠DCT, 而DA=DC, ∴△DAS≌△DCT, ∴AS=TC, ∴AS+AT=AC, 而正方形ABCD的边长为4, ∴AC=4, ∴AS+AT=4; (2)∵TS为直径, ∴∠SAT=90°,∠SDT=90°, ∴∠SAC=90°, 而∠CAD=45°, ∴∠SAD=45°, ∴∠STD=45°, ∴△DST为等腰直角三角形, ∴DS=DT, 又∵∠SAD=∠DCT=45°,∠ASD=∠DTC, ∴△DAS≌△DCT, ∴AS=TC, ∴AS-AT=TC-AT=AC=4; (3)提出的问题是:求AT-AS的值.解答如下: 在TA上截取TF=AS,连接EF,如图, ∵∠TAE=∠BAC=45°, ∴△EST为等腰直角三角形, ∴SE=TE, 又∵∠ASE=∠ETF, 在△EAS和△EFT中,
∴△EAS≌△EFT(SAS), ∴∠SEA=∠TEF,AE=EF, 而∠TES=90°, ∴∠AEF=90°, ∴△AEF为等腰直角三角形, ∴AF=AE, ∵AE=AD=4, ∴AT-AS=AT-TF=AF=4. |