如图,△ABC内接于⊙O,过点B作⊙O的切线,交于CA的延长线于点E,∠EBC=2∠C.(1)求证:AB=AC;(2)当ABBC=54时,①求tan∠ABE的值
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如图,△ABC内接于⊙O,过点B作⊙O的切线,交于CA的延长线于点E,∠EBC=2∠C.(1)求证:AB=AC;(2)当ABBC=54时,①求tan∠ABE的值
题型:不详
难度:
来源:
如图,△ABC内接于⊙O,过点B作⊙O的切线,交于CA的延长线于点E,∠EBC=2∠C.
(1)求证:AB=AC;
(2)当
AB
BC
=
5
4
时,①求tan∠ABE的值;②如果AE=
20
11
,求AC的值.
答案
(1)证明:∵BE切⊙O于点B,
∴∠ABE=∠C.
∵∠EBC=2∠C,
即∠ABE+∠ABC=2∠C.
∴∠ABC=∠C.
∴AB=AC.
(2)①如图,连接AO,交BC于点F
∵AB=AC,∴
AB
=
AC
;
∴AO⊥BC,且BF=FC.
∵
AB
BC
=
5
4
∴
AB
2BF
=
5
4
∴
AB
BF
=
5
2
;
设AB=
5
m,BF=2m,
由勾股定理,得AF=
A
B
2
-B
F
2
=
5
m
2
-4
m
2
=m
;
∴tan∠ABE=tan∠ABF=
AF
BF
=
m
2m
=
1
2
.
②在△EBA和△ECB中,
∵∠E=∠E,∠EBA=∠ECB,∴△EBA
∽
△ECB,
∴
EA
EB
=
AB
BC
;
∵
AB
BC
=
5
4
,
∴EB=
4
5
EA(※);
由切割线定理,得EB
2
=EA×EC=EA(EA+AC);
将(※)式代入上式,得
16
5
EA
2
=EA(EA+AC);
∵EA≠0,
∴AC=
11
5
EA=
11
5
×
20
11
=4.
举一反三
已知:如图,AB是⊙O的直径,直线l与⊙O相切于点C,AD⊥l,垂足是D.
求证:AC平分∠DAB.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知,PD为⊙O的直径,直线BC切⊙O于点C,BP的延长线与CD的延长线交于点A,∠A=28°,∠B=26°,则∠PDC等于( )
A.34°
B.36°
C.38°
D.40°
题型:不详
难度:
|
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如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF
∥
BC交AB于E,交AC于F,过点O作OD⊥AC于D.下列四个结论:
①EF是△ABC的中位线.
②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切;
③设OD=m,AE+AF=2n,则S
△AEF
=mn;
④∠BOC=90°+
1
2
∠A;
其中正确的结论是______.
题型:不详
难度:
|
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AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线相交于D,和⊙O相交于E.如果AC平分∠DAB,
(1)求证:∠ADC=90°;
(2)若AB=2r,AD=
8
5
r,求DE.
题型:不详
难度:
|
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已知:在⊙O中,AB是直径,AC是弦,OE⊥AC于点E,过点C作直线FC,使∠FCA=∠AOE,交AB的
延长线于点D.
(1)求证:FD是⊙O的切线;
(2)设OC与BE相交于点G,若OG=2,求⊙O半径的长;
(3)在(2)的条件下,当OE=3时,求图中阴影部分的面积.
题型:不详
难度:
|
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