证明:(1)连接OC(如图①), ∵OA=OC, ∴∠1=∠A. ∵OE⊥AC, ∴∠A+∠AOE=90°. ∴∠1+∠AOE=90°. ∵∠FCA=∠AOE, ∴∠1+∠FCA=90°. 即∠OCF=90°. ∴FD是⊙O的切线.
(2)连接BC,(如图②) ∵OE⊥AC, ∴AE=EC(垂径定理). 又∵AO=OB, ∴OE∥BC且OE=BC. ∴∠OEG=∠GBC(两直线平行,内错角相等), ∠EOG=∠GCB(两直线平行,内错角相等), ∴△OEG∽△CBG(AA). ∴==. ∵OG=2, ∴CG=4. ∴OC=OG+GC=2+4=6. 即⊙O半径是6.
(3)∵OE=3,由(2)知BC=2OE=6, ∵OB=OC=6, ∴△OBC是等边三角形. ∴∠COB=60°. ∵在Rt△OCD中,CD=OC•tan60°=6, ∴S阴影=S△OCD-S扇形OBC=×6×6-=18-6π.
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