如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上的一点,以BD为直径的⊙0与边AC相切于点E,连接DE并延长,与BC的延长线交于点F.(1)求证:BD=B

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上的一点,以BD为直径的⊙0与边AC相切于点E,连接DE并延长,与BC的延长线交于点F.(1)求证:BD=B

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如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上的一点,以BD为直径的⊙0与边AC相切于点E,连接DE并延长,与BC的延长线交于点F.
(1)求证:BD=BF;
(2)若BC=12,AD=8,求BF的长.
答案
(1)证明:连接OE,
∵AC是圆的切线,
∴OE⊥AC,
∵BC⊥AC,
∴OEBC,
∵O是BD的中点,
∴OE是△BFD的中位线,
∵OEBF,
∴∠DEO=∠EFB,
又∵∠ODE=∠OED,
∴∠ODE=∠BFD,
∴BD=BF;

(2)设⊙O的半径为R,则BD=2R,OD=OE=R
∵OEBC,
∴△AOE△ABC,
OE
BC
=
AO
AB
,即
R
12
=
R+8
2R+8

解得:R1=8,R2=-6(舍去)
∴BF=BD=2R=16.
举一反三
如图已知△ABC的一边BC与以AC为直径的⊙O相切于点C,若BC=4,AB=5,则sinB=______.
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如图,已知PAB是⊙O的割线,AB为⊙O的直径,PC为⊙O的切线,C为切点,BD⊥PC于点D,交⊙O于点E,PA=AO=OB=1.
(Ⅰ)求∠P的度数;
(Ⅱ)求DE的长.
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如图,在平面直角坐标系中,以点M(-l,0)为圆心的圆与y轴,x轴分别交于点A、B、C、D,直线y=-


3
3
x-
5
3


3
与⊙M相切于点H,交x轴于点E,交y轴于点F.
(1)求⊙M的半径;

(2)如图,弦HQ交x轴于点P,且PD:PH=4:


7
,求点P的坐标;

(3)如图,点K为线段EC上一动点(不与E、C重合),连接BK交⊙M于点G,连接AG.过点M作MN⊥x轴交BK于N.是否存在这样的点K,使得AG=MK?若存在,请求出GN的长;若不存在,请说明理由.
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已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D是边BC的中点.以BD为直径作圆O,交边AB于点P,连接PC,交AD于点E.
(1)求证:AD是圆O的切线;
(2)若PC是圆O的切线,BC=8,求DE的长.
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如图1,AB是⊙O的直径,射线BM⊥AB,垂足为B,点C为射线BM上的一个动点(C与B不重合),连接AC交⊙O于D,过点D作⊙O的切线交BC于E.
(1)在C点运动过程中,当DEAB时(如图2),求∠ACB的度数;
(2)在C点运动过程中,试比较线段CE与BE的大小,并说明理由;
(3)∠ACB在什么范围内变化时,线段DC上存在点G,满足条件BC2=4DG•DC(请写出推理过程).
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