如图，在平面直角坐标系中，以点M（-l，0）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A、B、C、D，直线y=-33x-533与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，以点M（-l，0）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A、B、C、D，直线y=-

3

3

x-

5

3

3

与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．
（1）求⊙M的半径；

（2）如图，弦HQ交x轴于点P，且PD：PH=4：

7

，求点P的坐标；

（3）如图，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点G，连接AG．过点M作MN⊥x轴交BK于N．是否存在这样的点K，使得AG=MK？若存在，请求出GN的长；若不存在，请说明理由．

答案

（1）由直线y=-

3

3

x-

5

3

3

可知，E（-5，0）、F（0，-

5 3

3

）
∴OE=5，OF=

5 3

3

，
∵M点的坐标是（-1，0），
∴EM=OE-OM=5-1=4，
∴EF=

(-5)2+( 5 3 3 )2

=

10 3

3

=2OF，
∴∠OEF=30°，
∴HM=

1

2

EM=

1

2

×4=2，
即⊙M的半径为2；

（2）作HT⊥OC于T，连接CH、MH，由（1）知△CMH为正三角形，
∴CT=1，TH=

3

．设PD=4x，PH=

7

x．
∵TH²+TP²=PH²，
∴3+（3-4x）²=7x²，
∴x₁=2（舍），x₂=

2

3

；
∴PM=PD-MD=4×

2

3

-2=

2

3

；
又∵M（-1，0），
∴P的横坐标为-1-

2

3

=-

5

3

，
故P（-

5

3

，0）．

（3）假设存在，则有AG=MK．作直径AR交BK于S，连接GR．
则△AGR≌△KMN，
∴GR=MN．则△GRS≌△MNS，于是GN=MR=2．