如图，∠C=90°，∠CAE=∠ABC，AC=2，BC=3．（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求OB的长．

题型：不详难度：来源：

如图，∠C=90°，∠CAE=∠ABC，AC=2，BC=3．
（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求OB的长．

答案

（1）证明：连接OE，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
又∵∠CAE=∠ABC，
∴∠OEB=∠ABC=∠CAE，
∴∠AEC+∠OEB=90°，
∴∠AEO=90°，
∴AE与⊙O相切．

（2）过点O作OM⊥BE，于点M，
∵∠C=∠C=90°，∠CAE=∠ABC，
∴△ACE∽△BCA，
∴

CE

AC

=

AC

BC

，
∴CE=

2

3

×2=

4

3

，BE=

5

3

，
则BM=

5

6

，
AB=

22+32

=

13

，
∵∠C=90°，∠OMB=90°，
∴OM∥AC，
∴△BOM∽△BAC，
∴

BO

AB

=

BM

BC

，
∴

OB

13

=

5 6

3

=

5

18

，
∴OB=

5 13

18

．