(1)证明:∵BD是⊙O的切线, ∴∠DBA=90°, ∵CH⊥AB, ∴CH∥BD, ∴△AEC∽△AFD, ∴=, ∴AE•FD=AF•EC.
(2)证明:连接OC,BC, ∵CH∥BD, ∴△AEC∽△AFD,△AHE∽△ABF, ∴=,=, ∴==, ∵CE=EH(E为CH中点), ∴BF=DF, ∵AB为⊙O的直径, ∴∠ACB=∠DCB=90°, ∵BF=DF, ∴CF=DF=BF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半), 即CF=BF.
(3)∵BF=CF=DF(已证),EF=BF=2, ∴EF=FC, ∴∠FCE=∠FEC, ∵∠AHE=∠CHG=90°, ∴∠FAH+∠AEH=90°,∠G+∠GCH=90°, ∵∠AEH=∠CEF, ∴∠G=∠FAG, ∴AF=FG, ∵FB⊥AG, ∴AB=BG, ∵BF切⊙O于B, ∴∠FBC=∠CAB, ∵OC=OA,CF=BF, ∴∠FCB=∠FBC,∠OCA=∠OAC, ∴∠FCB=∠CAB, ∵∠ACB=90°, ∴∠ACO+∠BCO=90°, ∴∠FCB+∠BCO=90°, 即OC⊥CG, ∴CG是⊙O切线, ∵GBA是⊙O割线,AB=BG(已证), FB=FE=2, ∴由切割线定理得:(2+FG)2=BG×AG=2BG2, 在Rt△BFG中,由勾股定理得:BG2=FG2-BF2, ∴FG2-4FG-12=0, 解得:FG=6,FG=-2(舍去), 由勾股定理得: AB=BG==4, ∴⊙O的半径是2. |