如图,⊙O是△ABC的外接圆,FH是⊙O的切线,切点为F,FH∥BC,连接AF交BC于E,∠ABC的平分线BD交AF于D,连接BF.(1)证明:AF平分∠BAC
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如图,⊙O是△ABC的外接圆,FH是⊙O的切线,切点为F,FH∥BC,连接AF交BC于E,∠ABC的平分线BD交AF于D,连接BF.(1)证明:AF平分∠BAC
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如图,⊙O是△ABC的外接圆,FH是⊙O的切线,切点为F,FH
∥
BC,连接AF交BC于E,∠ABC的平分线BD交AF于D,连接BF.
(1)证明:AF平分∠BAC;
(2)证明:BF=FD.
答案
证明:(1)连接OF.(如图1)
∵FH是⊙O的切线,
∴OF⊥FH.
∵FH
∥
BC,
∴OF垂直平分BC,
∴
BF
=
FC
,
∴AF平分∠BAC;
(2)∵AF平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
∵BD平分∠ABC,
∴∠3=∠4,
又∵∠5=∠2(圆周角定理),
∴∠1+∠4=∠2+∠3,
∴∠1+∠4=∠5+∠3,
∠FDB=∠FBD,
∴BF=FD.
举一反三
如图,⊙O和⊙O′都经过点A和点B,点P在BA的延长线上,过P作⊙O的割线PCD交⊙O于C、D,作⊙O′的切线PE切⊙O′于E,若PC=4,CD=5,则PE等于( )
A.6
B.2
5
C.20
D.36
题型:不详
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如图,⊙O′经过⊙O的圆心,E、F是两圆的交点,直线OO′交⊙O′于点P,交EF
于点C,交⊙O于点Q,且EF=2
15
,sin∠P=
1
4
.
(1)求证:PE是⊙O的切线;
(2)求⊙O和⊙O′的半径的长;
(3)若点A在劣弧
QF
上运动(与点Q、F不重合),连接PA交劣弧
DF
于点B,连接BC并延长交⊙O于点G,设CG=x,PA=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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如图1,已知正方形ABCD的边长为
2
3
,点M是AD的中点,P是线段MD上的一动点(P不与M,D重合),以AB为直径作⊙O,过点P作⊙O的切线交BC于点F,切点为E.
(1)除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外,图中还有哪些相等的线段(不能添加字母和辅助线);
(2)求四边形CDPF的周长;
(3)延长CD,FP相交于点G,如图2所示.是否存在点P,使BF•FG=CF•OF?如果存在,试求此时AP的长;如果不存在,请说明理由.
题型:不详
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|
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如图,在直角梯形ABCD中,AB
∥
DC,∠B=90°,P为BC上一点.
(1)若∠APD=90°,找出图中两个相似的三角形,并加以证明;
(2)若AB=9,DC=4,P为BC的中点,∠APD=90°,求BC的长;
(3)在(2)的条件下,试探求以AD为直径的圆与BC所在直线的位置关系,并予以证明.
题型:不详
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矩形ABCD中,AB=8,BC=6,如果圆A是以点A为圆心,9为半径的圆,那么下列判断正确的是( )
A.点B、C均在圆A外
B.点B在圆A外、点C在圆A内
C.点B在圆A内、点C在圆A外
D.点B、C均在圆A内
题型:不详
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