如图,⊙O′经过⊙O的圆心,E、F是两圆的交点,直线OO′交⊙O′于点P,交EF于点C,交⊙O于点Q,且EF=215,sin∠P=14.(1)求证:PE是⊙O的
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如图,⊙O′经过⊙O的圆心,E、F是两圆的交点,直线OO′交⊙O′于点P,交EF于点C,交⊙O于点Q,且EF=215,sin∠P=14.(1)求证:PE是⊙O的
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如图,⊙O′经过⊙O的圆心,E、F是两圆的交点,直线OO′交⊙O′于点P,交EF
于点C,交⊙O于点Q,且EF=2
15
,sin∠P=
1
4
.
(1)求证:PE是⊙O的切线;
(2)求⊙O和⊙O′的半径的长;
(3)若点A在劣弧
QF
上运动(与点Q、F不重合),连接PA交劣弧
DF
于点B,连接BC并延长交⊙O于点G,设CG=x,PA=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
答案
(1)证明:连接OE,
∵OP是⊙O"的直径,
∴∠OEP=90°.
∴PE是⊙O的切线.
(2)设⊙O、⊙O"的半径分别为r,r"
∵⊙O与⊙O"交于E、F,
∴EF⊥OO",EC=
1
2
EF=
15
.
∴在Rt△EOC、Rt△POE中,∠OEC=∠OPE.
∴sin∠OEC=sin∠OPE=
1
4
.
∴sin∠OEC=
OC
OE
=
OC
r
=
1
4
.
即OC=
1
4
r,
∴
r
2
-
1
16
r
2
=15
,解得r=4.
Rt△OPE中,sin∠OPE=
OE
OP
=
r
2r′
∴r"=8.
(3)连接OF,
∵∠OEP=90°,CE⊥OP,
∴PE
2
=PC•PO.
又∵PE是⊙O的切线,
∴PE
2
=PB•PA.
∴PC•PO=PB•PA.
即
PC
PA
=
PB
PO
,
又∵∠CPB=∠APO,
∴△CPB
∽
△APO.
∴
BC
OA
=
PC
PA
.
∴
BC=
60
PA
.
由相交弦定理,得BC•CG=CF•CE.
∴
BC=
15
CG
.
∴PA=4CG.
即y=4x(
15
<x<5
).
举一反三
如图1,已知正方形ABCD的边长为
2
3
,点M是AD的中点,P是线段MD上的一动点(P不与M,D重合),以AB为直径作⊙O,过点P作⊙O的切线交BC于点F,切点为E.
(1)除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外,图中还有哪些相等的线段(不能添加字母和辅助线);
(2)求四边形CDPF的周长;
(3)延长CD,FP相交于点G,如图2所示.是否存在点P,使BF•FG=CF•OF?如果存在,试求此时AP的长;如果不存在,请说明理由.
题型:不详
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如图,在直角梯形ABCD中,AB
∥
DC,∠B=90°,P为BC上一点.
(1)若∠APD=90°,找出图中两个相似的三角形,并加以证明;
(2)若AB=9,DC=4,P为BC的中点,∠APD=90°,求BC的长;
(3)在(2)的条件下,试探求以AD为直径的圆与BC所在直线的位置关系,并予以证明.
题型:不详
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矩形ABCD中,AB=8,BC=6,如果圆A是以点A为圆心,9为半径的圆,那么下列判断正确的是( )
A.点B、C均在圆A外
B.点B在圆A外、点C在圆A内
C.点B在圆A内、点C在圆A外
D.点B、C均在圆A内
题型:不详
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如图,已知AC是⊙O的直径,MA,MB分别切⊙O于点A,B.
(1)如图1,若∠BAC=25°,求∠AMB的大小;
(2)如图2,过点B作BD⊥AC,交AC于点E,交⊙O于点D,连接AD,若BD=AM=2
3
.
①求∠AMB的大小;
②图中阴影部分的面积为______.
题型:不详
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已知,如图,AB是⊙O的直径,DC切⊙O于点C,AB=2BC,则∠BCD=______度.
题型:不详
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