(1)∵AB⊥MN,AC⊥AP, ∴∠ABP=∠CAP=90°. 又∵∠ACP=∠BAP, ∴△ABP∽△CAP.(1分) ∴=. 即=.(1分) ∴所求的函数解析式为y=(x>0).(1分)
(2)CD的长不会发生变化.(1分) 延长CA交直线MN于点E.(1分) ∵AC⊥AP, ∴∠PAE=∠PAC=90°. ∵∠ACP=∠BAP, ∴∠APC=∠APE. ∴∠AEP=∠ACP. ∴PE=PC. ∴AE=AC.(1分) ∵AB⊥MN,CD⊥MN, ∴AB∥CD. ∴==.(1分) ∵AB=4, ∴CD=8.(1分)
(3)∵圆C与直线MN相切, ∴圆C的半径为8.(1分) (i)当圆C与圆P外切时,CP=PB+CD,即y=x+8, ∴=x+8, ∴x=2,(1分) ∴BP=2, ∴CP=y=2+8=10, 根据勾股定理得PD=6 ∴BP:PD=.(1分) (ii)当圆C与圆P内切时,CP=|PB-CD|,即y=|x-8|, ∴=|x-8|. ∴=x-8或=8-x. ∴x=-2(不合题意,舍去)或无实数解.(1分) ∴综上所述BP:PD=.
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