如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是BC的中点，PD切⊙O于点D．（1）求证：DP⊥AP；（2）若PD=12，PC=8，求⊙O的半径R的长．

题型：不详难度：来源：

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是

BC

的中点，PD切⊙O于点D．
（1）求证：DP⊥AP；
（2）若PD=12，PC=8，求⊙O的半径R的长．

答案

（1）证明：连接BC、OD，相交于点E；
∵点D是

BC

的中点，
∴OD⊥BC，
∴∠CED=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∵∠ACB=90°，
∵PD为⊙O的切线，
∴OD⊥PD，
∴∠PDE=90°
∴四边形PDEC为矩形，
∴DP⊥AP；

（2）由（1）可知四边形PDEC为矩形，
∴PD=CE=12，
∴BC=2CE=24；
∵PD²=PC•PA，
∴PA=

PD2

PC

=

122

8

=18，
∴AC=PA-PC=18-8=10；
∵AB²=AC²+BC²=10²+24²=676，
∴AB=26，
∴⊙O的半径R=13．