如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上的一点，CD交⊙O于点D，且∠A=∠C=30°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）请判断线段AC是BC的多少倍，并说明

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如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上的一点，CD交⊙O于点D，且∠A=∠C=30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）请判断线段AC是BC的多少倍，并说明理由．

答案

（1）证明：连接OD．　　　　　　　　　
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
又∵∠C=30°，
∴∠ODC=90°，
即OD⊥DC，
故DC是⊙O的切线；

（2）∵OD⊥DC，且△OBD是等边三角形，
∴∠C=∠CDB=30°，BD=OB，
∴BD=BC，
∴OB=BC，
∴OB=BC=OA，
∴AC=3BC．

举一反三

如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PA=2

，∠APO=30°，则⊙O的半径长为______．

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如图，AB是⊙O的直径，BC是一条弦，连接OC并延长至点P，使PC=BC，∠BOC=60°．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为1，且AB、PB的长是方程x²+bx+c=0的两根，求b、c的值．

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如图，BC为⊙O的直径，P为CB延长线上的一点，过P作⊙O的切线PA，A为切点，PA=4，PB=2，则⊙O的半径等于（　　）

A．3

B．4

C．6

D．8

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如图，O是已知线段AB上一点，以OB为半径的⊙O交线段AB于点C，以线段AO为直径的半圆交⊙O于点D，过点B作AB的垂线与AD的延长线交于点E．
（1）求证：AE切⊙O于点D；
（2）若AC=2，且AC、AD的长时关于x的方程x²-kx+4

=0的两根，求线段EB的长；
（3）当点O位于线段AB何处时，△ODC恰好是等边三角形？并说明理由．

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（初三）如图，△ABC中，AB=AC，I为△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，过点I作BC的平行线分别交AB、AC于E、F，若O是△DEF外接圆的圆心．
证明：（1）O点在线段AD上；
（2）AB、AC是⊙O的切线．
（初二）如图，四边形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，DA=DC，求证，BD²=AB²+BC²．

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