已知:如图1,把矩形纸片ABCD折叠,使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与点D,C重合),MN为折痕,点M,N分别在边BC,AD上,连接AP,MP,AM,A

已知:如图1,把矩形纸片ABCD折叠,使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与点D,C重合),MN为折痕,点M,N分别在边BC,AD上,连接AP,MP,AM,A

题型:不详难度:来源:
已知:如图1,把矩形纸片ABCD折叠,使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与点D,C重合),MN为折痕,点M,N分别在边BC,AD上,连接AP,MP,AM,AP与MN相交于点F.⊙O过点M,C,P.
(1)请你在图1中作出⊙O(不写作法,保留作图痕迹);
(2)
AF
AN
AP
AD
是否相等?请你说明理由;
(3)随着点P的运动,若⊙O与AM相切于点M时,⊙O又与AD相切于点H.设AB为4,请你通过计算,画出这时的图形.(图2,3供参考)
答案

(1)如图:

(2)解法一:
AF
AN
AP
AD
不相等.
假设
AF
AN
=
AP
AD

则由相似三角形的性质,得MNDC,
∵∠D=90°
∴DC⊥AD
∴MN⊥AD
∵据题意得,A与P关于MN对称,
∴MN⊥AP
∵据题意,P与D不重合,
∴这与“过一点(A)只能作一条直线与已知直线(MN)垂直”矛盾,
∴假设不成立,
AF
AN
=
AP
AD
不成立;

解法二:
AF
AN
AP
AD
不相等.
理由如下:
∵P,A关于MN对称,
∴MN垂直平分AP
∴cos∠FAN=
AF
AN

∵∠D=90°
∴cos∠PAD=
AD
AP

∵∠FAN=∠PAD
AF
AN
=
AD
AP

∵P不与D重合,P在边DC上
∴AD≠AP
AD
AP
AP
AD

从而
AF
AN
AP
AD



(3)∵AM是⊙O的切线,
∴∠AMP=90°
∴∠CMP+∠AMB=90°
∵∠BAM+∠AMB=90°
∴∠CMP=∠BAM
∵MN垂直平分AP,
∴MA=MP
∵∠B=∠C=90°
∴△ABM≌△MCP
∴MC=AB=4
设PD=x,则CP=4-x
∴BM=PC=4-x
连接HO并延长交BC于J,
∵AD是⊙O的切线
∴∠JHD=90°
∴HDCJ为矩形
∴OJCP
∴△MOJ△MPC
∴OJ:CP=MO:MP=1:2
∴OJ=
1
2
(4-x)
OH=
1
2
MP=4-OJ=
1
2
(4+x)
∵MC2=MP2-CP2
∴(4+x)2-(4-x)2=16
解得:x=1,即PD=1,PC=3
∴BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7.
举一反三
已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=4


3
,以AC为直径的⊙O交AB于点D,点E是BC的中点,连接OD,OB,DE.
(1)求证:OD⊥DE;
(2)求sin∠ABO的值.
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已知:射线OF交⊙O于点B,半径OA⊥OB,P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合),直线AP交⊙O于D,过D作⊙O的切线交射线OF于E.
(1)图a是点P在圆内移动时符合已知条件的图形,请你在图b中画出点P在圆外移动时符合已知条件的图形;
(2)观察图形,点P在移动过程中,△DPE的边、角或形状存在某些规律,请你通过观察、测量、比较,写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律;
(3)在点P移动过程中,设∠DEP的度数为x,∠OAP的度数为y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
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已知:如图,A是半径为2的⊙O上的一点,P是OA延长线上的一动点,过P作⊙O的切线,切点为B,设PA=m,PB=n.
(1)当n=4时,求m的值;
(2)⊙O上是否存在点C,使△PBC为等边三角形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由;
(3)当m为何值时,⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形?并直接答出:此时⊙O上能与PB构成等腰三角形的点共有几个?
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已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O,过点A的切线与CD的延长线交于E,且∠ADE=∠BDC.
(1)求证:△ABC为等腰三角形;
(2)若AE=6,BC=12,CD=5,求AD的长.
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如图,AM、AN分别切⊙O于M、N两点,点B在⊙O上,且∠MBN=70°,则∠A=______度.
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