(1)解法一:连接OB.
∵PB切⊙O于B, ∴∠OBP=90°, ∴PO2=PB2+OB2, ∵PO=2+m,PB=n,OB=2, ∴(2+m)2=n2+22m2+4m=n2; n=4时, 解得:m1=-2-2(舍去),m2=2-2. ∴m的值为2-2. 解法二:延长PO交⊙O于Q,PAQ为⊙O割线. 又∵PB切⊙O于B, ∴PB2=PA•PQ, ∵PB=n,PA=m,PO=m+4, ∴n2=m2+4m, 当n=4时,解得m1=-2-2(舍去),m2=2-2, ∴m的值为2-2.
(2)存在点C,使△PBC为等边三角形; 当∠OPB=30°时,过点P作⊙O的另一条切线PC,C为切点,
∴PB=PC,∠OPB=∠OPC, ∴∠BPC=60°,∴△PBC为等边三角形; 连接OB,∠OBP=90°,OB=2,得OP=4, ∴m=PA=OP-OA=2.
(3)如图,设EF为线段PB的垂直平分线,垂足为D,当EF与⊙O相切于点M时,M符合要求; 连接OB、OM, ∵OB∥DM,OB=BD=OM=DM,∠OBD=90°, ∴四边形OMDB为正方形,
∴BD=DM=OM=2, ∴n=PB=4. 由(1)得n=4时,m=2-2, ∴当m=2-2时,⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形, 此时⊙O上共有3个点能与PB构成等腰三角形. (这3点分别是M,M1,M2.其中M是PB中垂线与⊙O的切点,M1是延长BO与⊙O的交点,M2是点B关于OP的对称点) |