①作AD的中点E,作EG⊥BC于点G,过E作AB的平行线EF,则EF是梯形ABCD的中位线, ∴EF=(AB+CD)=BC=CF, ∴∠CEF=∠ECF, ∵EF∥CD, ∴∠DCE=∠CEF, ∵在△DCE和△GCE中, , ∴△DCE≌△GCE(AAS), ∴EG=DE=AD,则以AD为直径的圆与BC相切. 故命题正确; ②若∠A=90°,当以AD为直径的圆与BC相切,设以AD为直径的圆的圆心是E,则E是AD的中点,设圆与BC相切与点G, 则连接EG,则EG⊥BC,且EG=ED. ∵在Rt△DCE和Rt△GCE中, , ∴Rt△DCE≌Rt△GCE(HL), ∴CG=CD, 同理,BG=AB, ∴AB+CD=BC, 取BC的中点,连接EF,则EF是梯形ABCD的中位线, ∴EF=(AB+CD)=BC, 又∵若∠A=90°,则EF⊥AD, ∴以BC为直径的圆也与AD相切.故②正确; ③需要∠A=90°,故错误. ④由面积法,可得以AD为直径的圆与BC相切,则以BC为直径的圆与AD相切.正确. 故正确的是:①②④.故选C.
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