如图,在边长为2个单位长度的正方形ABCD中,点O、E分别是AD、AB的中点,点F是以点O为圆心,OE长为半径的圆弧与DC的交点,点P是EF上的动点,连接OP并

如图,在边长为2个单位长度的正方形ABCD中,点O、E分别是AD、AB的中点,点F是以点O为圆心,OE长为半径的圆弧与DC的交点,点P是EF上的动点,连接OP并

题型:不详难度:来源:
如图,在边长为2个单位长度的正方形ABCD中,点O、E分别是AD、AB的中点,点F是以点O为圆心,OE长为半径的圆弧与DC的交点,点P是
EF
上的动点,连接OP并延长交直线BC于K.
(1)当P从E点沿
EF
运动到F时,K运动了多少单位长度?
(2)过点P作
EF
所在圆的切线,当该切线不与BC平行时,设它与射线AB、直线BC分别交于M、G,
①当K与B重合时,BG:BM=?
②在P运动过程中,是否存在BG:BM=3的情况?若存在,求出BK的值;若不存在说明理由.
答案
(1)连接OE、OF,并延长OE、OF分别交直线BC于N、Q,
当P从点E运动到点F时,点K从点N运动到了点Q;
∵O、E分别为AD、AB的中点,
∴OA=AE=BE=1,
又∵∠A=∠EBN=90°,∠AEO=∠NEB,
∴△OAE≌△NBE,得OA=BN=1,
同理可得CQ=1;
故NQ=NB+BC+CQ=1+2+1=4,即点K运动了4个单位长度.

(2)①当K、B重合时,
∵MG与弧EF所在的圆相切,且切点为P,
∴OB⊥MG,
∴∠BMP+∠OBA=∠BMP+∠BGM=90°,
∴∠OBA=∠BGM,
又∵∠MBG=∠OAB=90°,
∴△OAB△MBG,得:
BG
BM
=
BA
OA
,由于BA=2OA,则BG:BM=2.

②存在BG:BM=3的情况,理由如下:
假设存在符合条件的P点,使得BG:BM=3,过K作KH⊥OA于H,
则四边形ABKH为矩形,有KH=AB=2;
∵MG与弧EF相切于点P,
∴OK⊥MG,且垂足为P,
∴∠1+∠2=90°;
又∵∠G+∠2=90°,则∠1=∠G;
∵∠OHK=∠GBM=90°,
∴△OHK△MBG,
OH
HK
=
BM
BG
=
1
3

∴OH=
2
3
,AH=BK=
1
3

∴存在符合题意的K点,使得BG:BM=3;
同理可得:在线段BC、CD以及CB的延长线上,存在这样的点K′、M″、G′,
使得CK′=
1
3
,CG′:CM″=3;
连接G′M″交AB于M′,则BG′:BM′=CG′:CM″=3;
此时BK′=BC-K′C=2-
1
3
=
5
3
,即BK的值为
1
3
5
3

举一反三
如图,已知直线AB是⊙O的切线,A为切点,OB交⊙O于点C,点D在⊙O上,且∠OBA=40°,则∠ADC=______度.
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如图所示,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于E点,点D是BC边的中点,连接DE.
(1)请判断DE与⊙O是怎样的位置关系?请说明理由.
(2)若⊙O的半径为4,DE=3,求AE的长.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,已知PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,AC是⊙O的直径,∠P=40°,则∠BAC的大小是(  )
A.70°B.40°C.50°D.20°

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在△ABC中,∠BAC的平分线AD交△ABC的外接圆⊙O于点E,交BC于点D,过点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F,若AD=3


3
,DE=


3

求证:
(1)EFBC;
(2)AF=2EF.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,∠BAC=90°,AC=AB,直线l与以AB为直径的圆相切于点B,点E是圆上异于A、B的任意一点.直线AE与l相交于点D.
(1)如果AD=10,BD=6,求DE的长;
(2)连接CE,过E作CE的垂线交直线AB于F.当点E在什么位置时,相应的F位于线段AB上、位于BA的延长线上、位于AB的延长线上(写出结果,不要求证明).无论点E如何变化,总有BD=BF.请你就上述三种情况任选一种说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
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