解:(1)∵∠AOC=60°,AO=AC,
∴△AOC是等边三角形,
∴∠OAC=60°;
(2)∵CP与⊙A相切,
∴∠ACP=90°,
∴∠APC=90°﹣∠OAC=30°;
又∵A(4,0),
∴AC=AO=4,
∴PA=2AC=8,
∴PO=PA﹣OA=8﹣4=4;
(3)①过点C作CP1⊥OB,垂足为P1,
延长CP1交⊙A于Q1,
∵OA是半径,
∴,
∴OC=OQ1,
∴△OCQ1是等腰三角形;
又∵△AOC是等边三角形,
∴P1O=OA=2;
②过A作AD⊥OC,垂足为D,延长DA交⊙A于Q2,
CQ2与x轴交于P2,
∵A是圆心,
∴DQ2是OC的垂直平分线,
∴CQ2=OQ2,
∴△OCQ2是等腰三角形;
过点Q2作Q2E⊥x轴于E,
在Rt△AQ2E中,
∵∠Q2AE=∠OAD=∠OAC=30°,
∴Q2E=AQ2=2,AE=2,
∴点Q2的坐标为(4+,﹣2);
在Rt△COP1中,
∵P1O=2,∠AOC=60°,
∴CP1=,
∴C点坐标为(2,);
设直线CQ2的关系式为y=kx+b,
则,解得:,
∴y=﹣x+2+2;
当y=0时,x=2+2,
∴P2O=2+2.
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