已知：如图，BD是⊙O的直径，过圆上一点A作⊙O的切线交DB的延长线于P，过B点作BC∥PA交⊙O于C，连接AB、AC．（1）求证：AB=AC；（2）若PA=1

题型：山东省期末题难度：来源：

已知：如图，BD是⊙O的直径，过圆上一点A作⊙O的切线交DB的延长线于P，过B点作BC∥PA交⊙O于C，连接AB、AC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若PA=10，PB=5，求⊙O的半径和AC的长．

答案

（1）证明：∵BC∥AP，
∴∠1=∠2，
∵PA切圆于点A，
∴∠1=∠C，
∴∠2=∠C，
∴AB=AC；
（2）解：连接AD，
由圆周角定理得：∠C=∠D，
∵∠1=∠C，
∴∠1=∠D，
又∠P=∠P，
∴△PDA∽△PAB，
∴PA²=PB·PD，
即10²=5×（5+2×OB），
∴OB=，即圆O的半径为；
∵△PDA∽△PAB，
∴，
∴AD=2AB，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
BD²=AB²+AD²，
即15²=AB²+（2AB）^2，
∴AB=3，
由（1）知，AB=AC，
∴AC=．