如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接AF，BF，求

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；
（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．

答案

解：（1）证明：连接OB∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC
又∵CD⊥OA
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90 °
∴∠OBA+∠ABC=90 °
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切线．

（2）连接OF，AF，BF，
∵DA=DO，CD⊥OA，
∴△OAF是等边三角形，
∴∠AOF=60 °
∴∠ABF=∠AOF=30 °

（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，
∴EG=BE=5
又Rt△ADE∽Rt△CGE
∴sin∠ECG=sin∠A=，
∴CE==13
∴CG==12，
又CD=15，CE=13，
∴DE=2，
由Rt△ADE∽Rt△CGE得=
∴AD=CG=
∴⊙O的半径为2AD=．