如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．（1）求∠COB的度数；（2）求

题型：浙江省中考真题难度：来源：

如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知
∠EAT=30°，AE=3

，MN=2

．
（1）求∠COB的度数；
（2）求⊙O的半径R；
（3）点F在⊙O上（

是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．

答案

解：（1）∵AE切⊙O于点E，
∴AE⊥CE，又OB⊥AT，
∴∠AEC=∠CBO=90°，
又∠BCO=∠ACE，
∴△AEC∽△OBC，又∠A=30°，
∴∠COB=∠A=30°；
（2）∵AE=3

，∠A=30°，
∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°=

，即EC=AEtan30°=3，
∵OB⊥MN，
∴B为MN的中点，又MN=2

，
∴MB=

MN=

，
连接OM，在△MOB中，OM=R，MB=

，
∴OB=

，
在△COB中，∠BOC=30°，
∵cos∠BOC=cos30°=

，
∴BO=

OC，
∴OC=

OB=

，
又OC+EC=OM=R，
∴R=

+3，
整理得：R²+18R﹣115=0，
即（R+23）（R﹣5）=0，
解得：R=﹣23（舍去）或R=5，
则R=5；
（3）在EF同一侧，△COB经过平移、旋转和相似变换后，
这样的三角形有6个，
如图，每小图2个，顶点在圆上的三角形，如右图所示：
延长EO交圆O于点D，连接DF，
如图所示，
∵EF=5，直径ED=10，可得出∠FDE=30°，
∴FD=5