已知：如图，⊙P与x轴相切于坐标原点O，点A（0，2）是⊙P与y轴的交点，点B（-2，0）在x轴上．连接BP交⊙P于点C，连接AC并延长交x轴于点D。（1）求线

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已知：如图，⊙P与x轴相切于坐标原点O，点A（0，2）是⊙P与y轴的交点，点B（-2，0）在x轴上．连接BP交⊙P于点C，连接AC并延长交x轴于点D。
（1）求线段BC的长；
（2）求直线AC的关系式；
（3）当点B在x轴上移动时，是否存在点B，使△BOP相似于△AOD？若存在，求出符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）法一：由题意，得OP=1，BO=2，CP=1，
在Rt△BOP中，
∵BP²=OP²+BO²，
∴（BC+1）²=1²+（2）²，
∴BC=2；
法二：延长BP交⊙P于G，
如图所示，由题意，得OB=2，CG=2，
∵OB²=BC·BG，
∴（2）²=BC（BC+2），
BC=2；
（2）如图所示，过点C作CE⊥x轴于E，CF⊥y轴于F，
在△PBO中，
∵CF∥BO，
∴，
即，
解得CF=，
同理可求得CE=，
因此C（-，），
设直线AC的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
把A（0，2），C（-，）两点代入关系式，得，
解得，
∴所求函数关系式为y=x+2；
（3）如图所示，在x轴上存在点B，使△BOP与△AOD相似，
∵∠OPB＞∠OAD，
∴∠OPB≠∠OAD，
故若要△BOP与△AOD相似，则∠OBP=∠OAD，
又∠OPB=2∠OAD，
∴∠OPB=2∠OBP，
∵∠OPB+∠OBP=90°，
∴3∠OBP=90°，
∴∠OBP=30°，
因此OB=cot30°OP=，
∴B1点坐标为（-，0），
根据对称性可求得符合条件的B₂坐标（，0），
综上，符合条件的B点坐标有两个：B₁（-，0），B₂（，0）．