如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB。（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若点M是的中

题型：江苏期中题难度：来源：

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB。
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若点M是的中点，CM交AB于点N，AB=8，求MN ·MC的值。

答案

解：（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COB=2∠A，
又∵∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB， 
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，而OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）连接MA，MB，
∵点M是的中点，
∴，
∴∠BCM=∠ABM，而∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB，
∴，
∴△MBN∽△MCB，
∴
又∵AB是⊙O的直径，，
∴∠AMB=90°，AM=BM，
∵AB=8，
∴BM=4，
∴MN·MC=BM²=32。