如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD2=AB·AE，求证：DE是⊙O的切线。

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD²=AB·AE，求证：DE是⊙O的切线。

答案

证明：连结DC，DO并延长交⊙O于F，连结AF，
∵AD=AB·AE，∠BAD=∠DAE，
∴△BAD∽△DAE，
∴∠ADB=∠E，
又∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ACB=∠E，BC∥DE，
∴∠CDE=∠BCD=∠BAD=∠DAC，
又∵∠CAF=∠CDF，
∴∠FDE=∠CDE+∠CDF=∠DAC+∠CDF=∠DAF=90°，
故DE是⊙O的切线。