如图,AB是半圆的直径,O为圆心,AD、BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD。(1)判断直线PD是否为⊙O的切线,并说明理由;(2)如果∠BDE=60°,PD=

如图,AB是半圆的直径,O为圆心,AD、BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD。(1)判断直线PD是否为⊙O的切线,并说明理由;(2)如果∠BDE=60°,PD=

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如图,AB是半圆的直径,O为圆心,AD、BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD。
(1)判断直线PD是否为⊙O的切线,并说明理由;
(2)如果∠BDE=60°,PD=,求PA的长。
答案
解:(1)PD是⊙O的切线,连接OD,
∵OB=OD,
∴∠2=∠PBD,
又∵∠PDA=∠PBD,
∴∠PDA=∠2,
又∵AB是半圆的直径,
∴∠ADB=90°,即∠1+∠2=90°,
∴∠1+∠PDA=90°,即OD⊥PD,
∴PD是⊙O的切线;
(2)∵∠BDE=60°,∠ODE=90°,∠ADB=90°,
∴∠2=30°,∠1=60°,
∵OD=OA,
∴△AOD是等边三角形,
∴∠POD=60°,
∴∠P=∠PDA=30°,
∴PA=AD=AO=OD,
在Rt△PDO中,设OD=x,
∴x2+(2=(2x)2
∴x1=1,x2=-1(不合题意,舍去),
∴PA=1。
举一反三
如图,在正方形ABCD中,O是CD边上的一点,以O为圆心,OD为半径的半圆恰好与以B为圆心,BC为半径的扇形的弧外切,则∠OBC的正弦值为(    )。
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如图,⊙O的圆心在Rt△ABC的直角边AC上,⊙O经过C、D两点,与斜边AB交于点E,连结BO、ED,有BO∥ED,作弦EF⊥AC于G,连结DF。
(1)求证:AB为⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为5,sin∠DFE=,求EF的长。
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如图,△OAB中,OA=OB,∠A=30°,⊙O经过AB的中点E分别交OA、OB于C、D两点,连接CD。
(1)求证:AB是⊙O的切线。
(2)求证:CD∥AB。
(3)若,求扇形OCED的面积。
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如图,点P为△ABC的内心,延长AP交△ABC的外接圆于D,在AC延长线上有一点E,满足AD2=AB·AE,求证:DE是⊙O的切线。
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如图,已知⊙O1与⊙O2都过点A,AO1是⊙O2的切线,⊙O1交O1O2于点B,连结AB并延长交⊙O2于点C,连结O2C。
(1)求证:O2C⊥O1O2
(2)证明:AB·BC=2O2B·BO1
(3)如果AB·BC=12,O2C=4,求AO1的长。


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