如图1,已知AB是⊙O的直径,AB垂直于弦CD,垂足为M,弦AE与CD交于F,则有结论AD2=AE·AF成立(不要求证明)。(1)若将弦CD向下平移至与⊙O相切
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如图1,已知AB是⊙O的直径,AB垂直于弦CD,垂足为M,弦AE与CD交于F,则有结论AD2=AE·AF成立(不要求证明)。(1)若将弦CD向下平移至与⊙O相切
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如图1,已知AB是⊙O的直径,AB垂直于弦CD,垂足为M,弦AE与CD交于F,则有结论AD
2
=AE·AF成立(不要求证明)。
(1)若将弦CD向下平移至与⊙O相切于B 点时,如图2,则AE·AF是否等于AG
2
?如果不相等,请探求AE·AF等于哪两条线段的积?并给出说明;
(2)当CD继续向下平移至与⊙O相离时,如图3,在(1)中探求的结论是否还成立?并说明理由。
答案
解:(1)AE·AF不等于AG
2
,应该有结论AE·AF=AG·AH,
证明:如图①,连接BG,EG,
∵AB是⊙O的直径,CD是⊙O的切线,
∴∠ABF=∠AGB=90°,
∴∠BAF+∠BFA=90°,
∴∠AGE+∠BGE=90°,
∴∠BAF+∠BFA=∠AGF+∠BGE,
而∠BAF=∠BGE,
∴∠BFA=∠AGE,
又∠FAH=∠GAE,
∴△FAH∽△GAE,
∴
∴所以AE·AF=AG·AH;
(2)(1)中探求的结论还成立,
证明:如图②连接EG,BG,
∵AB是⊙O的直径,AM⊥CD,∠AMF=∠AGB=90°,
∴∠AFM+∠FAM=∠ACE+∠BGE=90°,
而∠FAM=∠BGE,
∴∠AFM=∠AGE,
又∠FAH=∠GAE,
∴△FAH∽△GAE,
∴
∴ AE·AF=AG·AH。
举一反三
如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=-2x-8分别与x轴,y轴相交于A,B两点,点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点,以P为圆心,3为半径作⊙P。
(1)连接PA,若PA=PB,试判断⊙P与x轴的位置关系,并说明理由;
(2)当k为何值时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形?
题型:广东省中考真题
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如图所示,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点M,过B点作BE∥CD,交AC的延长线于点E,连接BC。
(1)求证:BE为⊙O的切线;
(2)如果CD=6,tan∠BCD=
,求⊙O的直径。
题型:模拟题
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如图所示,PT切⊙O于点T,经过圆心O的割线PAB交⊙O于点A、B,已知PA=1,⊙O的半径为1,则sin ∠P的值等于
[ ]
A.1
B.2
C.
D.
题型:模拟题
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如图所示,∠EAF的角平分线AD分别交△AEF的外接圆⊙O和线段EF于D、G两点,过点D作EF的平行线分别交AE、AF的延长线于B、C。
(1)判断BC与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)连接FD,若AG=9,FD=6,求
的值。
题型:模拟题
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如图所示,在Rt△ABC 中,∠C=90°,点O在AB上,以O 为圆心,OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E,且∠CBD=∠A。
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若AD∶AO=8∶5,BC=2,求BD的长。
题型:模拟题
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